Алгебра Примеры

$\log (7 x - 11) \leq 2$

Этап 1

Преобразуем неравенство в равенство.

$\log (7 x - 11) = 2$

Этап 2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\log (7 x - 11) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{2} = 7 x - 11$

Этап 2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем уравнение в виде $7 x - 11 = 10^{2}$ .

$7 x - 11 = 10^{2}$

Этап 2.2.2

Возведем $10$ в степень $2$ .

$7 x - 11 = 100$

Этап 2.2.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Добавим $11$ к обеим частям уравнения.

$7 x = 100 + 11$

Этап 2.2.3.2

Добавим $100$ и $11$ .

$7 x = 111$

Этап 2.2.4

Разделим каждый член $7 x = 111$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Разделим каждый член $7 x = 111$ на $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{111}{7}$

Этап 2.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 x}{7} = \frac{111}{7}$

Этап 2.2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{111}{7}$

Этап 3

Найдем область определения $\log (7 x - 11) - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\log (7 x - 11)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$7 x - 11 > 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $11$ к обеим частям неравенства.

$7 x > 11$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $7 x > 11$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $7 x > 11$ на $7$ .

$\frac{7 x}{7} > \frac{11}{7}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 x}{7} > \frac{11}{7}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{11}{7}$

Этап 3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(\frac{11}{7}, \infty)$

Этап 4

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{11}{7}$

$\frac{11}{7} < x < \frac{111}{7}$

$x > \frac{111}{7}$

Этап 5

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{11}{7}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{11}{7}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 5.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\log (7 (0) - 11) \leq 2$

Этап 5.1.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.1.3.2

Левая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.2

Проверим значение на интервале $\frac{11}{7} < x < \frac{111}{7}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{11}{7} < x < \frac{111}{7}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 5.2.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\log (7 (4) - 11) \leq 2$

Этап 5.2.3

Левая часть $1.23044892$ меньше правой части $2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 5.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{111}{7}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{111}{7}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 18$

Этап 5.3.2

Заменим $x$ на $18$ в исходном неравенстве.

$\log (7 (18) - 11) \leq 2$

Этап 5.3.3

Левая часть $2.06069784$ больше правой части $2$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{11}{7}$ Ложь

$\frac{11}{7} < x < \frac{111}{7}$ Истина

$x > \frac{111}{7}$ Ложь

$x < \frac{11}{7}$ Ложь

$\frac{11}{7} < x < \frac{111}{7}$ Истина

$x > \frac{111}{7}$ Ложь

Этап 6

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{11}{7} < x \leq \frac{111}{7}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$\frac{11}{7} < x \leq \frac{111}{7}$

Интервальное представление:

$(\frac{11}{7}, \frac{111}{7}]$

Этап 8