Алгебра Примеры

$f (x) = x^{4} + x^{3} - 51 x^{2} - 9 x + 378$

Этап 1

Перегруппируем члены.

$f (x) = x^{3} - 9 x + x^{4} - 51 x^{2} + 378$

Этап 2

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 9 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$f (x) = x \cdot x^{2} - 9 x + x^{4} - 51 x^{2} + 378$

Этап 2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 9 x$ .

$f (x) = x \cdot x^{2} + x \cdot - 9 + x^{4} - 51 x^{2} + 378$

Этап 2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot - 9$ .

$f (x) = x (x^{2} - 9) + x^{4} - 51 x^{2} + 378$

Этап 3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f (x) = x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 51 x^{2} + 378$

Этап 4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$f (x) = x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 51 x^{2} + 378$

Этап 4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 51 x^{2} + 378$

Этап 5

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$f (x) = x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 51 x^{2} + 378$

Этап 6

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$f (x) = x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 51 u + 378$

Этап 7

Разложим $u^{2} - 51 u + 378$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $378$ , а сумма — $- 51$ .

$- 42, - 9$

Этап 7.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$f (x) = x (x + 3) (x - 3) + (u - 42) (u - 9)$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f (x) = x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 42) (x^{2} - 9)$

Этап 9

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f (x) = x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 42) (x^{2} - 3^{2})$

Этап 10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

$f (x) = x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 42) ((x + 3) (x - 3))$

Этап 10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 42) (x + 3) (x - 3)$

Этап 11

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 42) (x + 3) (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $x (x + 3) (x - 3)$ .

$f (x) = (x + 3) (x - 3) (x) + (x^{2} - 42) (x + 3) (x - 3)$

Этап 11.2

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $(x^{2} - 42) (x + 3) (x - 3)$ .

$f (x) = (x + 3) (x - 3) (x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 42)$

Этап 11.3

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $(x + 3) (x - 3) (x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 42)$ .

$f (x) = (x + 3) (x - 3) (x + x^{2} - 42)$

Этап 12

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$f (x) = (x + 3) (x - 3) (u + u^{2} - 42)$

Этап 13

Разложим $u + u^{2} - 42$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 42$ , а сумма — $1$ .

$- 6, 7$

Этап 13.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$f (x) = (x + 3) (x - 3) ((u - 6) (u + 7))$

Этап 14

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$f (x) = (x + 3) (x - 3) ((x - 6) (x + 7))$

Этап 14.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = (x + 3) (x - 3) (x - 6) (x + 7)$