Алгебра Примеры

$4 x^{4} - 4 x^{2} - x^{2} + 1 = 0$

Этап 1

Вычтем $x^{2}$ из $- 4 x^{2}$ .

$4 x^{4} - 5 x^{2} + 1 = 0$

Этап 2

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$4 u^{2} - 5 u + 1 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 1 = 4$ , а сумма — $b = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 u$ .

$4 u^{2} - 5 u + 1 = 0$

Этап 3.1.2

Запишем $- 5$ как $- 1$ плюс $- 4$

$4 u^{2} + (- 1 - 4) u + 1 = 0$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 u^{2} - 1 u - 4 u + 1 = 0$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(4 u^{2} - 1 u) - 4 u + 1 = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (4 u - 1) - (4 u - 1) = 0$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 1) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 u - 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Этап 5

Приравняем $4 u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $4 u - 1$ к $0$ .

$4 u - 1 = 0$

Этап 5.2

Решим $4 u - 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$4 u = 1$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $4 u = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $4 u = 1$ на $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{1}{4}$

Этап 6

Приравняем $u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $u - 1$ к $0$ .

$u - 1 = 0$

Этап 6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$u = 1$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 u - 1) (u - 1) = 0$ верно.

$u = \frac{1}{4}, 1$

Этап 8

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

${(x^{2})}^{1} = 1$

Этап 9

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Этап 10

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Этап 10.2

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Этап 10.2.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Этап 10.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 10.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Этап 10.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 10.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 10.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Этап 11

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 1$

Этап 12

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = 1$

Этап 12.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 12.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 12.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 12.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 12.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 13

Решением $4 x^{4} - 5 x^{2} + 1 = 0$ является $x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 1, - 1$ .

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 1, - 1$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 1, - 1$

Десятичная форма:

$x = 0.5, - 0.5, 1, - 1$