Алгебра Примеры

$x^{2} + x$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = y^{2} + y$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $y^{2} + y = x$ .

$y^{2} + y = x$

Этап 2.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} + y - x = 0$

Этап 2.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = 1$ и $c = - x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Этап 2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Этап 2.6.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{- 1 + \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Этап 2.6.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Этап 2.6.5

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{1 + 4 x}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{1 + 4 x})}{2}$

Этап 2.6.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{1 + 4 x})$ .

$y = \frac{- 1 (1 - \sqrt{1 + 4 x})}{2}$

Этап 2.6.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Этап 2.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Этап 2.7.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{- 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Этап 2.7.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 - \sqrt{1 + 4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.1

Изменим порядок $1$ и $4 x$ .

$y = \frac{- 1 - \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Этап 2.7.4.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Этап 2.7.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{4 x + 1}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{4 x + 1})}{2}$

Этап 2.7.4.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (\sqrt{4 x + 1})$ .

$y = \frac{- 1 (1 + \sqrt{4 x + 1})}{2}$

Этап 2.7.4.5

Перепишем $- 1 (1 + \sqrt{4 x + 1})$ в виде $- (1 + \sqrt{4 x + 1})$ .

$y = \frac{- (1 + \sqrt{4 x + 1})}{2}$

Этап 2.7.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Этап 2.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$ обратной к $f (x) = x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = x^{2} + x$ и $f^{- 1} (x) = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$ и сравним их.

Этап 4.2

Найдем множество значений $f (x) = x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

Этап 4.3

Найдем область определения $- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{1 + 4 x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$1 + 4 x \geq 0$

Этап 4.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$4 x \geq - 1$

Этап 4.3.2.2

Разделим каждый член $4 x \geq - 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Разделим каждый член $4 x \geq - 1$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Этап 4.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Этап 4.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{- 1}{4}$

Этап 4.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x \geq - \frac{1}{4}$

Этап 4.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

Этап 4.4

Найдем область определения $f (x) = x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 4.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = x^{2} + x$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$ , представляет область определения $f (x) = x^{2} + x$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$ — обратная к $f (x) = x^{2} + x$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Этап 5