Алгебра Примеры

$\frac{3 x^{4} + x^{2} + 3}{x + 1}$

Этап 1

Чтобы вычислить остаток, сначала разделим многочлены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{4} + 3 x^{3}$ .

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

Этап 1.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

Этап 1.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

Этап 1.8

Умножим новое частное на делитель.

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

Этап 1.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x^{3} - 3 x^{2}$ .

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

Этап 1.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

Этап 1.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$0 x$

Этап 1.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$0 x$

Этап 1.13

Умножим новое частное на делитель.

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

Этап 1.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{2} + 4 x$ .

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

Этап 1.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

Этап 1.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$3$

Этап 1.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$3$

Этап 1.18

Умножим новое частное на делитель.

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$3$

$4 x$

$4$

Этап 1.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 x - 4$ .

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$3$

$4 x$

$4$

Этап 1.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$3$

$4 x$

$4$

$7$

Этап 1.21

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$3 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 4 + \frac{7}{x + 1}$

Этап 2

Поскольку последний член в полученном выражении является дробью, числитель этой дроби является остатком.

$7$