Алгебра Примеры

$\frac{2 z}{z - 2} + \frac{3}{z - 4} = 1$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$z - 2, z - 4, 1$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $z - 2$ является само значение $z - 2$ .

$(z - 2) = z - 2$

$(z - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

Множителем $z - 4$ является само значение $z - 4$ .

$(z - 4) = z - 4$

$(z - 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

НОК $z - 2, z - 4$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(z - 2) (z - 4)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{2 z}{z - 2} + \frac{3}{z - 4} = 1$ умножим на $(z - 2) (z - 4)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{2 z}{z - 2} + \frac{3}{z - 4} = 1$ на $(z - 2) (z - 4)$ .

$\frac{2 z}{z - 2} ((z - 2) (z - 4)) + \frac{3}{z - 4} ((z - 2) (z - 4)) = 1 ((z - 2) (z - 4))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $z - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 z}{z - 2} ((z - 2) (z - 4)) + \frac{3}{z - 4} ((z - 2) (z - 4)) = 1 ((z - 2) (z - 4))$

Этап 2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 z (z - 4) + \frac{3}{z - 4} ((z - 2) (z - 4)) = 1 ((z - 2) (z - 4))$

Этап 2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 z \cdot z + 2 z \cdot - 4 + \frac{3}{z - 4} ((z - 2) (z - 4)) = 1 ((z - 2) (z - 4))$

Этап 2.2.1.3

Умножим $z$ на $z$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Перенесем $z$ .

$2 (z \cdot z) + 2 z \cdot - 4 + \frac{3}{z - 4} ((z - 2) (z - 4)) = 1 ((z - 2) (z - 4))$

Этап 2.2.1.3.2

Умножим $z$ на $z$ .

$2 z^{2} + 2 z \cdot - 4 + \frac{3}{z - 4} ((z - 2) (z - 4)) = 1 ((z - 2) (z - 4))$

Этап 2.2.1.4

Умножим $- 4$ на $2$ .

$2 z^{2} - 8 z + \frac{3}{z - 4} ((z - 2) (z - 4)) = 1 ((z - 2) (z - 4))$

Этап 2.2.1.5

Сократим общий множитель $z - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.1

Вынесем множитель $z - 4$ из $(z - 2) (z - 4)$ .

$2 z^{2} - 8 z + \frac{3}{z - 4} ((z - 4) (z - 2)) = 1 ((z - 2) (z - 4))$

Этап 2.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$2 z^{2} - 8 z + \frac{3}{z - 4} ((z - 4) (z - 2)) = 1 ((z - 2) (z - 4))$

Этап 2.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$2 z^{2} - 8 z + 3 (z - 2) = 1 ((z - 2) (z - 4))$

Этап 2.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$2 z^{2} - 8 z + 3 z + 3 \cdot - 2 = 1 ((z - 2) (z - 4))$

Этап 2.2.1.7

Умножим $3$ на $- 2$ .

$2 z^{2} - 8 z + 3 z - 6 = 1 ((z - 2) (z - 4))$

Этап 2.2.2

Добавим $- 8 z$ и $3 z$ .

$2 z^{2} - 5 z - 6 = 1 ((z - 2) (z - 4))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $(z - 2) (z - 4)$ на $1$ .

$2 z^{2} - 5 z - 6 = (z - 2) (z - 4)$

Этап 2.3.2

Развернем $(z - 2) (z - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 z^{2} - 5 z - 6 = z (z - 4) - 2 (z - 4)$

Этап 2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 z^{2} - 5 z - 6 = z \cdot z + z \cdot - 4 - 2 (z - 4)$

Этап 2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 z^{2} - 5 z - 6 = z \cdot z + z \cdot - 4 - 2 z - 2 \cdot - 4$

Этап 2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Умножим $z$ на $z$ .

$2 z^{2} - 5 z - 6 = z^{2} + z \cdot - 4 - 2 z - 2 \cdot - 4$

Этап 2.3.3.1.2

Перенесем $- 4$ влево от $z$ .

$2 z^{2} - 5 z - 6 = z^{2} - 4 \cdot z - 2 z - 2 \cdot - 4$

Этап 2.3.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$2 z^{2} - 5 z - 6 = z^{2} - 4 z - 2 z + 8$

Этап 2.3.3.2

Вычтем $2 z$ из $- 4 z$ .

$2 z^{2} - 5 z - 6 = z^{2} - 6 z + 8$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $z$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $z^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 z^{2} - 5 z - 6 - z^{2} = - 6 z + 8$

Этап 3.1.2

Добавим $6 z$ к обеим частям уравнения.

$2 z^{2} - 5 z - 6 - z^{2} + 6 z = 8$

Этап 3.1.3

Вычтем $z^{2}$ из $2 z^{2}$ .

$z^{2} - 5 z - 6 + 6 z = 8$

Этап 3.1.4

Добавим $- 5 z$ и $6 z$ .

$z^{2} + z - 6 = 8$

Этап 3.2

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$z^{2} + z - 6 - 8 = 0$

Этап 3.2.2

Вычтем $8$ из $- 6$ .

$z^{2} + z - 14 = 0$

Этап 3.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = 1$ и $c = - 14$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $z$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 14)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 14}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 14}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 14$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 56}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.3

Добавим $1$ и $56$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{57}}{2}$

Этап 3.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 14}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 14}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 14$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 56}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.3

Добавим $1$ и $56$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{57}}{2}$

Этап 3.6.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$z = \frac{- 1 + \sqrt{57}}{2}$

Этап 3.6.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$z = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{57}}{2}$

Этап 3.6.5

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{57}$ .

$z = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{57})}{2}$

Этап 3.6.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{57})$ .

$z = \frac{- 1 (1 - \sqrt{57})}{2}$

Этап 3.6.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$z = - \frac{1 - \sqrt{57}}{2}$

Этап 3.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 14}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 14}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 14$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 56}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.3

Добавим $1$ и $56$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{57}}{2}$

Этап 3.7.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$z = \frac{- 1 - \sqrt{57}}{2}$

Этап 3.7.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$z = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{57}}{2}$

Этап 3.7.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{57}$ .

$z = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{57})}{2}$

Этап 3.7.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (\sqrt{57})$ .

$z = \frac{- 1 (1 + \sqrt{57})}{2}$

Этап 3.7.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$z = - \frac{1 + \sqrt{57}}{2}$

Этап 3.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$z = - \frac{1 - \sqrt{57}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{57}}{2}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$z = - \frac{1 - \sqrt{57}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{57}}{2}$

Десятичная форма:

$z = 3.27491721 \dots, - 4.27491721 \dots$