Алгебра Примеры

$x^{4} - 5 x^{3} + x^{2} + 21 x - 18$

Этап 1

Разложим $x^{4} - 5 x^{3} + x^{2} + 21 x - 18$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

Этап 1.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$1^{4} - 5 \cdot 1^{3} + 1^{2} + 21 \cdot 1 - 18$

Этап 1.3.2

Возведем $1$ в степень $4$ .

$1 - 5 \cdot 1^{3} + 1^{2} + 21 \cdot 1 - 18$

Этап 1.3.3

Возведем $1$ в степень $3$ .

$1 - 5 \cdot 1 + 1^{2} + 21 \cdot 1 - 18$

Этап 1.3.4

Умножим $- 5$ на $1$ .

$1 - 5 + 1^{2} + 21 \cdot 1 - 18$

Этап 1.3.5

Вычтем $5$ из $1$ .

$- 4 + 1^{2} + 21 \cdot 1 - 18$

Этап 1.3.6

Возведем $1$ в степень $2$ .

$- 4 + 1 + 21 \cdot 1 - 18$

Этап 1.3.7

Добавим $- 4$ и $1$ .

$- 3 + 21 \cdot 1 - 18$

Этап 1.3.8

Умножим $21$ на $1$ .

$- 3 + 21 - 18$

Этап 1.3.9

Добавим $- 3$ и $21$ .

$18 - 18$

Этап 1.3.10

Вычтем $18$ из $18$ .

$0$

Этап 1.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} - 5 x^{3} + x^{2} + 21 x - 18}{x - 1}$

Этап 1.5

Разделим $x^{4} - 5 x^{3} + x^{2} + 21 x - 18$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

Этап 1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

Этап 1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{4}$

$x^{3}$

Этап 1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} - x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{4}$

$x^{3}$

Этап 1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

Этап 1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

Этап 1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

Этап 1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Этап 1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 x^{3} + 4 x^{2}$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Этап 1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x^{2}$

Этап 1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x^{2}$

$21 x$

Этап 1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x^{2}$

$21 x$

Этап 1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x^{2}$

$21 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

Этап 1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x^{2} + 3 x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x^{2}$

$21 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

Этап 1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x^{2}$

$21 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$18 x$

Этап 1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x^{2}$

$21 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$18 x$

$18$

Этап 1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $18 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x^{2}$

$21 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$18 x$

$18$

Этап 1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x^{2}$

$21 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$18 x$

$18$

$18 x$

$18$

Этап 1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $18 x - 18$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x^{2}$

$21 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$18 x$

$18$

$18 x$

$18$

Этап 1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x^{2}$

$21 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$18 x$

$18$

$18 x$

$18$

$0$

Этап 1.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 18$

Этап 1.6

Запишем $x^{4} - 5 x^{3} + x^{2} + 21 x - 18$ в виде набора множителей.

$(x - 1) (x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 18)$

Этап 2

Разложим $x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 18$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

Этап 2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

Этап 2.3

Подставим $- 2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим $- 2$ в многочлен.

${(- 2)}^{3} - 4 {(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2 + 18$

Этап 2.3.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- 8 - 4 {(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2 + 18$

Этап 2.3.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- 8 - 4 \cdot 4 - 3 \cdot - 2 + 18$

Этап 2.3.4

Умножим $- 4$ на $4$ .

$- 8 - 16 - 3 \cdot - 2 + 18$

Этап 2.3.5

Вычтем $16$ из $- 8$ .

$- 24 - 3 \cdot - 2 + 18$

Этап 2.3.6

Умножим $- 3$ на $- 2$ .

$- 24 + 6 + 18$

Этап 2.3.7

Добавим $- 24$ и $6$ .

$- 18 + 18$

Этап 2.3.8

Добавим $- 18$ и $18$ .

$0$

Этап 2.4

Поскольку $- 2$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 18}{x + 2}$

Этап 2.5

Разделим $x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 18$ на $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

Этап 2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$3 x$	+	$18$

Этап 2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$3 x$	+	$18$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$3 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$3 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Этап 2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$3 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Этап 2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 6 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$3 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Этап 2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$3 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$12 x$

Этап 2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 6 x^{2} - 12 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$3 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$

Этап 2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$3 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$

Этап 2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$3 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	+	$18$

Этап 2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $9 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$3 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	+	$18$

Этап 2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$3 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	+	$18$
							+	$9 x$	+	$18$

Этап 2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $9 x + 18$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$3 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	+	$18$
							-	$9 x$	-	$18$

Этап 2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$3 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	+	$18$
							-	$9 x$	-	$18$
										$0$

Этап 2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 6 x + 9$

Этап 2.6

Запишем $x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 18$ в виде набора множителей.

$(x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 6 x + 9))$

Этап 3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$(x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 6 x + 3^{2}))$

Этап 3.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Этап 3.1.3

Перепишем многочлен.

$(x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}))$

Этап 3.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$(x - 1) ((x + 2) {(x - 3)}^{2})$

Этап 3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 1) (x + 2) {(x - 3)}^{2}$