Алгебра Примеры

$\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} < x$

Этап 1

Вычтем $x$ из обеих частей неравенства.

$\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} - x < 0$

Этап 2

Упростим $\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $- x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} - x \cdot \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} < 0$

Этап 2.2

Объединим $- x$ и $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} + \frac{- x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} < 0$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} < 0$

Этап 2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x \cdot x^{2} - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

Этап 2.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - (x^{2} x) - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

Этап 2.4.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - (x^{2} x^{1}) - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

Этап 2.4.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x^{2 + 1} - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

Этап 2.4.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x^{3} - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

Этап 2.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x^{3} - x}{x^{2} + 1} < 0$

Этап 2.4.4

Вычтем $x$ из $4 x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 3 - x^{3}}{x^{2} + 1} < 0$

Этап 2.4.5

Изменим порядок членов.

$\frac{- x^{3} + x^{2} + 3 x - 3}{x^{2} + 1} < 0$

Этап 2.4.6

Перепишем $- x^{3} + x^{2} + 3 x - 3$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(- x^{3} + x^{2}) + 3 x - 3}{x^{2} + 1} < 0$

Этап 2.4.6.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x^{2} (- x + 1) - 3 (- x + 1)}{x^{2} + 1} < 0$

Этап 2.4.6.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 1$ .

$\frac{(- x + 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Этап 2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{(- (x) + 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Этап 2.6

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 1)) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Этап 2.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x - 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Этап 2.8

Перепишем $- (x - 1)$ в виде $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x - 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Этап 2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(x - 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x - 1 = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Этап 4

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 3$

Этап 6

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{3}$

Этап 7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{3}$

Этап 7.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{3}$

Этап 7.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 8

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 1$

Этап 9

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 10

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 11

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 11.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 11.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 12

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 1$

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = i, - i$

Этап 13

Объединим решения.

$x = 1, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 14

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \sqrt{3}$

$- \sqrt{3} < x < 1$

$1 < x < \sqrt{3}$

$x > \sqrt{3}$

Этап 15

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Проверим значение на интервале $x < - \sqrt{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \sqrt{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 15.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 4)}^{2} + 4 (- 4) - 3}{{(- 4)}^{2} + 1} < - 4$

Этап 15.1.3

Левая часть $- 0.17647058$ не меньше правой части $- 4$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 15.2

Проверим значение на интервале $- \sqrt{3} < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Выберем значение на интервале $- \sqrt{3} < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 15.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(0)}^{2} + 4 (0) - 3}{{(0)}^{2} + 1} < 0$

Этап 15.2.3

Левая часть $- 3$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 15.3

Проверим значение на интервале $1 < x < \sqrt{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Выберем значение на интервале $1 < x < \sqrt{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1.37$

Этап 15.3.2

Заменим $x$ на $1.37$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(1.37)}^{2} + 4 (1.37) - 3}{{(1.37)}^{2} + 1} < 1.37$

Этап 15.3.3

Левая часть $1.51444262$ не меньше правой части $1.37$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 15.4

Проверим значение на интервале $x > \sqrt{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Выберем значение на интервале $x > \sqrt{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 15.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(4)}^{2} + 4 (4) - 3}{{(4)}^{2} + 1} < 4$

Этап 15.4.3

Левая часть $1.70588235$ меньше правой части $4$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 15.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \sqrt{3}$ Ложь

$- \sqrt{3} < x < 1$ Истина

$1 < x < \sqrt{3}$ Ложь

$x > \sqrt{3}$ Истина

$x < - \sqrt{3}$ Ложь

$- \sqrt{3} < x < 1$ Истина

$1 < x < \sqrt{3}$ Ложь

$x > \sqrt{3}$ Истина

Этап 16

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- \sqrt{3} < x < 1$ или $x > \sqrt{3}$

Этап 17

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- \sqrt{3} < x < 1 or x > \sqrt{3}$

Интервальное представление:

$(- \sqrt{3}, 1) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

Этап 18