Алгебра Примеры

$\frac{x^{2} + 15 x + 50}{- x^{2} - 10 x} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 16}{x^{2} + 7 x + 10} \div \frac{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}{25 - x^{2}}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{x^{2} + 15 x + 50}{- x^{2} - 10 x} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 16}{x^{2} + 7 x + 10} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Этап 2

Разложим $x^{2} + 15 x + 50$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $50$ , а сумма — $15$ .

$5, 10$

Этап 2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{- x^{2} - 10 x} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 16}{x^{2} + 7 x + 10} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Этап 3

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2} - 10 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x) - 10 x} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 16}{x^{2} + 7 x + 10} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Этап 3.2

Вынесем множитель $x$ из $- 10 x$ .

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x) + x \cdot - 10} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 16}{x^{2} + 7 x + 10} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- x) + x \cdot - 10$ .

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 16}{x^{2} + 7 x + 10} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Этап 4

Разложим $x^{2} + 10 x + 16$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $16$ , а сумма — $10$ .

$2, 8$

Этап 4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 8)}{x^{2} + 7 x + 10} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Этап 5

Разложим $x^{2} + 7 x + 10$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $10$ , а сумма — $7$ .

$2, 5$

Этап 5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 8)}{(x + 2) (x + 5)} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $x + 5$ из $(x + 2) (x + 5)$ .

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 8)}{(x + 5) (x + 2)} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Этап 6.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 8)}{(x + 5) (x + 2)} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Этап 6.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x + 10}{x (- x - 10)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 8)}{x + 2} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Этап 6.2

Умножим $\frac{x + 10}{x (- x - 10)}$ на $\frac{(x + 2) (x + 8)}{x + 2}$ .

$\frac{(x + 10) ((x + 2) (x + 8))}{x (- x - 10) (x + 2)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 10) ((x + 2) (x + 8))}{x (- x - 10) (x + 2)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Этап 6.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x + 10) (x + 8)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $x + 10$ и $- x - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$\frac{(- 1 (- x) + 10) (x + 8)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Этап 6.4.2

Перепишем $10$ в виде $- 1 (- 10)$ .

$\frac{(- 1 (- x) - 1 (- 10)) (x + 8)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Этап 6.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- x) - 1 (- 10)$ .

$\frac{- 1 (- x - 10) (x + 8)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Этап 6.4.4

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 (- x - 10) (x + 8)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Этап 6.4.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 (x + 8)}{x} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Этап 6.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{5^{2} - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Этап 7.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 5$ и $b = x$ .

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Этап 8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} + 13 x^{2} + 40 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x \cdot x^{2} + 13 x^{2} + 40 x}$

Этап 8.1.2

Вынесем множитель $x$ из $13 x^{2}$ .

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x \cdot x^{2} + x (13 x) + 40 x}$

Этап 8.1.3

Вынесем множитель $x$ из $40 x$ .

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x \cdot x^{2} + x (13 x) + x \cdot 40}$

Этап 8.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x (13 x)$ .

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x^{2} + 13 x) + x \cdot 40}$

Этап 8.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} + 13 x) + x \cdot 40$ .

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x^{2} + 13 x + 40)}$

Этап 8.2

Разложим $x^{2} + 13 x + 40$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $40$ , а сумма — $13$ .

$5, 8$

Этап 8.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x ((x + 5) (x + 8))}$

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x + 5) (x + 8)}$

Этап 9

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель $x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x + 8}{x}$ в числитель.

$\frac{- (x + 8)}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x + 5) (x + 8)}$

Этап 9.1.2

Вынесем множитель $x + 8$ из $- (x + 8)$ .

$\frac{(x + 8) \cdot - 1}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x + 5) (x + 8)}$

Этап 9.1.3

Вынесем множитель $x + 8$ из $x (x + 5) (x + 8)$ .

$\frac{(x + 8) \cdot - 1}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{(x + 8) (x (x + 5))}$

Этап 9.1.4

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 8) \cdot - 1}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{(x + 8) (x (x + 5))}$

Этап 9.1.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x + 5)}$

Этап 9.2

Умножим $\frac{- 1}{x}$ на $\frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x + 5)}$ .

$\frac{- ((5 + x) (5 - x))}{x (x (x + 5))}$

Этап 10

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- ((5 + x) (5 - x))}{x^{1} x (x + 5)}$

Этап 11

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- ((5 + x) (5 - x))}{x^{1} x^{1} (x + 5)}$

Этап 12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- ((5 + x) (5 - x))}{x^{1 + 1} (x + 5)}$

Этап 13

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- ((5 + x) (5 - x))}{x^{2} (x + 5)}$

Этап 14

Сократим общий множитель $5 + x$ и $x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Изменим порядок членов.

$\frac{- ((x + 5) (5 - x))}{x^{2} (x + 5)}$

Этап 14.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- ((x + 5) (5 - x))}{x^{2} (x + 5)}$

Этап 14.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- (5 - x)}{x^{2}}$

Этап 15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5 - x}{x^{2}}$