Алгебра Примеры

$\tan (2 θ) + \tan (θ) = 0$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим формулу двойного угла для тангенса.

$\frac{2 \tan (θ)}{1 - \tan^{2} (θ)} + \tan (θ) = 0$

Этап 1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{2 \tan (θ)}{1^{2} - \tan^{2} (θ)} + \tan (θ) = 0$

Этап 1.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \tan (θ)$ .

$\frac{2 \tan (θ)}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + \tan (θ) = 0$

Этап 2

Вынесем множитель $\tan (θ)$ из $\frac{2 \tan (θ)}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + \tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $\tan (θ)$ из $\frac{2 \tan (θ)}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))}$ .

$\tan (θ) \frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + \tan (θ) = 0$

Этап 2.2

Возведем $\tan (θ)$ в степень $1$ .

$\tan (θ) \frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + \tan (θ) = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $\tan (θ)$ из $\tan^{1} (θ)$ .

$\tan (θ) \frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + \tan (θ) \cdot 1 = 0$

Этап 2.4

Вынесем множитель $\tan (θ)$ из $\tan (θ) \frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + \tan (θ) \cdot 1$ .

$\tan (θ) (\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\tan (θ) = 0$

$\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1 = 0$

Этап 4

Приравняем $\tan (θ)$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\tan (θ)$ к $0$ .

$\tan (θ) = 0$

Этап 4.2

Решим $\tan (θ) = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из тангенса.

$θ = \arctan (0)$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$θ = 0$

Этап 4.2.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = π + 0$

Этап 4.2.4

Добавим $π$ и $0$ .

$θ = π$

Этап 4.2.5

Найдем период $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 4.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 4.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 4.2.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 4.2.6

Период функции $\tan (θ)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = π n, π + π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Приравняем $\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1$ к $0$ .

$\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1 = 0$

Этап 5.2

Решим $\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)), 1, 1$

Этап 5.2.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$

Этап 5.2.2

Каждый член в $\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1 = 0$ умножим на $(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Умножим каждый член $\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1 = 0$ на $(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$ .

$\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))) + 1 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель $(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))) + 1 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Этап 5.2.2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 + 1 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Этап 5.2.2.2.1.2

Умножим $(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$ на $1$ .

$2 + (1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Этап 5.2.2.2.1.3

Развернем $(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 + 1 (1 - \tan (θ)) + \tan (θ) (1 - \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Этап 5.2.2.2.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 + 1 \cdot 1 + 1 (- \tan (θ)) + \tan (θ) (1 - \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Этап 5.2.2.2.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 + 1 \cdot 1 + 1 (- \tan (θ)) + \tan (θ) \cdot 1 + \tan (θ) (- \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Этап 5.2.2.2.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.4.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$2 + 1 + 1 (- \tan (θ)) + \tan (θ) \cdot 1 + \tan (θ) (- \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Этап 5.2.2.2.1.4.1.2

Умножим $- \tan (θ)$ на $1$ .

$2 + 1 - \tan (θ) + \tan (θ) \cdot 1 + \tan (θ) (- \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Этап 5.2.2.2.1.4.1.3

Умножим $\tan (θ)$ на $1$ .

$2 + 1 - \tan (θ) + \tan (θ) + \tan (θ) (- \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Этап 5.2.2.2.1.4.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 + 1 - \tan (θ) + \tan (θ) - \tan (θ) \tan (θ) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Этап 5.2.2.2.1.4.1.5

Умножим $\tan (θ)$ на $\tan (θ)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.4.1.5.1

Перенесем $\tan (θ)$ .

$2 + 1 - \tan (θ) + \tan (θ) - (\tan (θ) \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Этап 5.2.2.2.1.4.1.5.2

Умножим $\tan (θ)$ на $\tan (θ)$ .

$2 + 1 - \tan (θ) + \tan (θ) - \tan^{2} (θ) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Этап 5.2.2.2.1.4.2

Добавим $- \tan (θ)$ и $\tan (θ)$ .

$2 + 1 + 0 - \tan^{2} (θ) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Этап 5.2.2.2.1.4.3

Добавим $1$ и $0$ .

$2 + 1 - \tan^{2} (θ) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Этап 5.2.2.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Этап 5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Развернем $(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 (1 - \tan (θ)) + \tan (θ) (1 - \tan (θ)))$

Этап 5.2.2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (θ)) + \tan (θ) (1 - \tan (θ)))$

Этап 5.2.2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (θ)) + \tan (θ) \cdot 1 + \tan (θ) (- \tan (θ)))$

Этап 5.2.2.3.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 + 1 (- \tan (θ)) + \tan (θ) \cdot 1 + \tan (θ) (- \tan (θ)))$

Этап 5.2.2.3.2.1.2

Умножим $- \tan (θ)$ на $1$ .

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 - \tan (θ) + \tan (θ) \cdot 1 + \tan (θ) (- \tan (θ)))$

Этап 5.2.2.3.2.1.3

Умножим $\tan (θ)$ на $1$ .

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 - \tan (θ) + \tan (θ) + \tan (θ) (- \tan (θ)))$

Этап 5.2.2.3.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 - \tan (θ) + \tan (θ) - \tan (θ) \tan (θ))$

Этап 5.2.2.3.2.1.5

Умножим $\tan (θ)$ на $\tan (θ)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.2.1.5.1

Перенесем $\tan (θ)$ .

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 - \tan (θ) + \tan (θ) - (\tan (θ) \tan (θ)))$

Этап 5.2.2.3.2.1.5.2

Умножим $\tan (θ)$ на $\tan (θ)$ .

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 - \tan (θ) + \tan (θ) - \tan^{2} (θ))$

Этап 5.2.2.3.2.2

Добавим $- \tan (θ)$ и $\tan (θ)$ .

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 + 0 - \tan^{2} (θ))$

Этап 5.2.2.3.2.3

Добавим $1$ и $0$ .

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 - \tan^{2} (θ))$

Этап 5.2.2.3.3

Умножим $0$ на $1 - \tan^{2} (θ)$ .

$3 - \tan^{2} (θ) = 0$

Этап 5.2.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- \tan^{2} (θ) = - 3$

Этап 5.2.3.2

Разделим каждый член $- \tan^{2} (θ) = - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Разделим каждый член $- \tan^{2} (θ) = - 3$ на $- 1$ .

$\frac{- \tan^{2} (θ)}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 5.2.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\tan^{2} (θ)}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 5.2.3.2.2.2

Разделим $\tan^{2} (θ)$ на $1$ .

$\tan^{2} (θ) = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 5.2.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.3.1

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$\tan^{2} (θ) = 3$

Этап 5.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{3}$

Этап 5.2.3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

Этап 5.2.3.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

Этап 5.2.3.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 5.2.4

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $θ$ .

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

Этап 5.2.5

Решим относительно $θ$ в $\tan (θ) = \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из тангенса.

$θ = \arctan (\sqrt{3})$

Этап 5.2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.1

Точное значение $\arctan (\sqrt{3})$ : $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Этап 5.2.5.3

$θ = π + \frac{π}{3}$

Этап 5.2.5.4

Упростим $π + \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$θ = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 5.2.5.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 5.2.5.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Этап 5.2.5.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.4.3.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$θ = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Этап 5.2.5.4.3.2

Добавим $3 π$ и $π$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Этап 5.2.5.5

Найдем период $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 5.2.5.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 5.2.5.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 5.2.5.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 5.2.5.6

Период функции $\tan (θ)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2.6

Решим относительно $θ$ в $\tan (θ) = - \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из тангенса.

$θ = \arctan (- \sqrt{3})$

Этап 5.2.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.2.1

Точное значение $\arctan (- \sqrt{3})$ : $- \frac{π}{3}$ .

$θ = - \frac{π}{3}$

Этап 5.2.6.3

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = - \frac{π}{3} - π$

Этап 5.2.6.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.4.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{3} - π$ .

$θ = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Этап 5.2.6.4.2

Результирующий угол $\frac{2 π}{3}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{3} - π$ на полный оборот.

$θ = \frac{2 π}{3}$

Этап 5.2.6.5

Найдем период $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 5.2.6.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 5.2.6.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 5.2.6.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 5.2.6.6

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.6.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{3}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{3} + π$

Этап 5.2.6.6.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 5.2.6.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.6.3.1

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 5.2.6.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 5.2.6.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.6.4.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Этап 5.2.6.6.4.2

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Этап 5.2.6.6.5

Перечислим новые углы.

$θ = \frac{2 π}{3}$

Этап 5.2.6.7

Период функции $\tan (θ)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2.7

Перечислим все решения.

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2.8

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Объединим $\frac{π}{3} + π n$ и $\frac{4 π}{3} + π n$ в $\frac{π}{3} + π n$ .

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2.8.2

Объединим $\frac{2 π}{3} + π n$ и $\frac{2 π}{3} + π n$ в $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $\tan (θ) (\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1) = 0$ верно.

$θ = π n, π + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Объединим ответы.

$θ = \frac{π n}{3}$ , для любого целого $n$