Алгебра Примеры

$A (t) = 300 t e^{- 2.5 t}$

Этап 1

Найдем, где выражение $300 x e^{- 2.5 x}$ не определено.

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 2

Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва непрерывности.

Нет вертикальных асимптот

Этап 3

Вычислим $lim_{x \to \infty} 300 x e^{- 2.5 x}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем член $300$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$300 lim_{x \to \infty} x e^{- 2.5 x}$

Этап 3.2

Перепишем $x e^{- 2.5 x}$ в виде $\frac{x}{e^{2.5 x}}$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2.5 x}}$

Этап 3.3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$300 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{2.5 x}}$

Этап 3.3.1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$300 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{2.5 x}}$

Этап 3.3.1.3

Поскольку показатель степени $2.5 x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{2.5 x}$ стремится к $\infty$ .

$300 \frac{\infty}{\infty}$

Этап 3.3.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$300 \frac{\infty}{\infty}$

Этап 3.3.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2.5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{2.5 x}]}$

Этап 3.3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$300 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{2.5 x}]}$

Этап 3.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{2.5 x}]}$

Этап 3.3.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2.5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2.5 x$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2.5 x]}$

Этап 3.3.3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [2.5 x]}$

Этап 3.3.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2.5 x$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2.5 x} \frac{d}{d x} [2.5 x]}$

Этап 3.3.3.4

Поскольку $2.5$ является константой относительно $x$ , производная $2.5 x$ по $x$ равна $2.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2.5 x} \cdot 2.5 \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2.5 x} \cdot 2.5 \cdot 1}$

Этап 3.3.3.6

Умножим $2.5$ на $1$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2.5 x} \cdot 2.5}$

Этап 3.3.3.7

Перенесем $2.5$ влево от $e^{2.5 x}$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2.5 e^{2.5 x}}$

Этап 3.3.4

Перепишем $1$ в виде $1 (1)$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1 (1)}{2.5 e^{2.5 x}}$

Этап 3.3.5

Вынесем множитель $2.5$ из $2.5 e^{2.5 x}$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1 (1)}{2.5 (e^{2.5 x})}$

Этап 3.3.6

Разделим дроби.

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2.5} \cdot \frac{1}{e^{2.5 x}}$

Этап 3.3.7

Разделим $1$ на $2.5$ .

$300 lim_{x \to \infty} 0.4 \frac{1}{e^{2.5 x}}$

Этап 3.3.8

Объединим $0.4$ и $\frac{1}{e^{2.5 x}}$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{0.4}{e^{2.5 x}}$

Этап 3.4

Вынесем член $0.4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$300 \cdot 0.4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2.5 x}}$

Этап 3.5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{e^{2.5 x}}$ стремится к $0$ .

$300 \cdot 0.4 \cdot 0$

Этап 3.6

Умножим на ноль.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $0.4$ на $0$ .

$300 \cdot 0$

Этап 3.6.2

Умножим $300$ на $0$ .

$0$

Этап 4

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = 0$

Этап 5

Наклонной асимптоты нет, поскольку степень числителя меньше или равна степени знаменателя.

Нет наклонных асимптот

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Нет вертикальных асимптот

Горизонтальные асимптоты: $y = 0$

Нет наклонных асимптот

Этап 7