Алгебра Примеры

$\sqrt{648} = \sqrt{2^{a} \cdot 3^{b}}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{2^{a} \cdot 3^{b}} = \sqrt{648}$ .

$\sqrt{2^{a} \cdot 3^{b}} = \sqrt{648}$

Этап 2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (\sqrt{2^{a} \cdot 3^{b}}) = \ln (\sqrt{648})$

Этап 3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2^{a} \cdot 3^{b}}$ в виде ${(2^{a} \cdot 3^{b})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln ({(2^{a} \cdot 3^{b})}^{\frac{1}{2}}) = \ln (\sqrt{648})$

Этап 3.2

Развернем $\ln ({(2^{a} \cdot 3^{b})}^{\frac{1}{2}})$ , вынося $\frac{1}{2}$ из логарифма.

$\frac{1}{2} \ln (2^{a} \cdot 3^{b}) = \ln (\sqrt{648})$

Этап 3.3

Перепишем $\ln (2^{a} \cdot 3^{b})$ в виде $\ln (2^{a}) + \ln (3^{b})$ .

$\frac{1}{2} (\ln (2^{a}) + \ln (3^{b})) = \ln (\sqrt{648})$

Этап 3.4

Развернем $\ln (2^{a})$ , вынося $a$ из логарифма.

$\frac{1}{2} (a \ln (2) + \ln (3^{b})) = \ln (\sqrt{648})$

Этап 3.5

Развернем $\ln (3^{b})$ , вынося $b$ из логарифма.

$\frac{1}{2} (a \ln (2) + b \ln (3)) = \ln (\sqrt{648})$

Этап 4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $\frac{1}{2} (a \ln (2) + b \ln (3))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} (a \ln (2)) + \frac{1}{2} (b \ln (3)) = \ln (\sqrt{648})$

Этап 4.1.2

Умножим $\frac{1}{2} (a \ln (2))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Объединим $a$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{a}{2} \ln (2) + \frac{1}{2} (b \ln (3)) = \ln (\sqrt{648})$

Этап 4.1.2.2

Объединим $\frac{a}{2}$ и $\ln (2)$ .

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{1}{2} (b \ln (3)) = \ln (\sqrt{648})$

Этап 4.1.3

Умножим $\frac{1}{2} (b \ln (3))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Объединим $b$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b}{2} \ln (3) = \ln (\sqrt{648})$

Этап 4.1.3.2

Объединим $\frac{b}{2}$ и $\ln (3)$ .

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (\sqrt{648})$

Этап 5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $\ln (\sqrt{648})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем $648$ в виде $18^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Вынесем множитель $324$ из $648$ .

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (\sqrt{324 (2)})$

Этап 5.1.1.2

Перепишем $324$ в виде $18^{2}$ .

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (\sqrt{18^{2} \cdot 2})$

Этап 5.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (18 \sqrt{2})$

Этап 6

Каждый член в $\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (18 \sqrt{2})$ умножим на $2$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим каждый член $\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (18 \sqrt{2})$ на $2$ .

$\frac{a \ln (2)}{2} \cdot 2 + \frac{b \ln (3)}{2} \cdot 2 = \ln (18 \sqrt{2}) \cdot 2$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a \ln (2)}{2} \cdot 2 + \frac{b \ln (3)}{2} \cdot 2 = \ln (18 \sqrt{2}) \cdot 2$

Этап 6.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$a \ln (2) + \frac{b \ln (3)}{2} \cdot 2 = \ln (18 \sqrt{2}) \cdot 2$

Этап 6.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$a \ln (2) + \frac{b \ln (3)}{2} \cdot 2 = \ln (18 \sqrt{2}) \cdot 2$

Этап 6.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$a \ln (2) + b \ln (3) = \ln (18 \sqrt{2}) \cdot 2$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перенесем $2$ влево от $\ln (18 \sqrt{2})$ .

$a \ln (2) + b \ln (3) = 2 \ln (18 \sqrt{2})$

Этап 7

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$a \ln (2) + b \ln (3) - 2 \ln (18 \sqrt{2}) = 0$

Этап 8

Перенесем все члены без $a$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вычтем $b \ln (3)$ из обеих частей уравнения.

$a \ln (2) - 2 \ln (18 \sqrt{2}) = - b \ln (3)$

Этап 8.2

Добавим $2 \ln (18 \sqrt{2})$ к обеим частям уравнения.

$a \ln (2) = - b \ln (3) + 2 \ln (18 \sqrt{2})$

Этап 9

Разделим каждый член $a \ln (2) = - b \ln (3) + 2 \ln (18 \sqrt{2})$ на $\ln (2)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разделим каждый член $a \ln (2) = - b \ln (3) + 2 \ln (18 \sqrt{2})$ на $\ln (2)$ .

$\frac{a \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- b \ln (3)}{\ln (2)} + \frac{2 \ln (18 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

Этап 9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сократим общий множитель $\ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- b \ln (3)}{\ln (2)} + \frac{2 \ln (18 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

Этап 9.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a = \frac{- b \ln (3)}{\ln (2)} + \frac{2 \ln (18 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

Этап 9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$a = - \frac{b \ln (3)}{\ln (2)} + \frac{2 \ln (18 \sqrt{2})}{\ln (2)}$