Алгебра Примеры

$\frac{1}{y - 2} + \frac{2}{y + 1} - \frac{y + 2}{y^{2} - y - 2}$

Этап 1

Разложим $y^{2} - y - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $- 1$ .

$- 2, 1$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{1}{y - 2} + \frac{2}{y + 1} - \frac{y + 2}{(y - 2) (y + 1)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{1}{y - 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y - 2} \cdot \frac{y + 1}{y + 1} + \frac{2}{y + 1} - \frac{y + 2}{(y - 2) (y + 1)}$

Этап 3

Чтобы записать $\frac{2}{y + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y - 2}{y - 2}$ .

$\frac{1}{y - 2} \cdot \frac{y + 1}{y + 1} + \frac{2}{y + 1} \cdot \frac{y - 2}{y - 2} - \frac{y + 2}{(y - 2) (y + 1)}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(y - 2) (y + 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{1}{y - 2}$ на $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{y + 1}{(y - 2) (y + 1)} + \frac{2}{y + 1} \cdot \frac{y - 2}{y - 2} - \frac{y + 2}{(y - 2) (y + 1)}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{2}{y + 1}$ на $\frac{y - 2}{y - 2}$ .

$\frac{y + 1}{(y - 2) (y + 1)} + \frac{2 (y - 2)}{(y + 1) (y - 2)} - \frac{y + 2}{(y - 2) (y + 1)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(y - 2) (y + 1)$ .

$\frac{y + 1}{(y + 1) (y - 2)} + \frac{2 (y - 2)}{(y + 1) (y - 2)} - \frac{y + 2}{(y - 2) (y + 1)}$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{y + 1 + 2 (y - 2)}{(y + 1) (y - 2)} - \frac{y + 2}{(y - 2) (y + 1)}$

Этап 5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{y + 1 + 2 (y - 2) - (y + 2)}{(y + 1) (y - 2)}$

Этап 6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y + 1 + 2 y + 2 \cdot - 2 - (y + 2)}{(y + 1) (y - 2)}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{y + 1 + 2 y - 4 - (y + 2)}{(y + 1) (y - 2)}$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y + 1 + 2 y - 4 - y - 1 \cdot 2}{(y + 1) (y - 2)}$

Этап 6.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{y + 1 + 2 y - 4 - y - 2}{(y + 1) (y - 2)}$

Этап 7

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим противоположные члены в $y + 1 + 2 y - 4 - y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вычтем $y$ из $y$ .

$\frac{1 + 2 y - 4 + 0 - 2}{(y + 1) (y - 2)}$

Этап 7.1.2

Добавим $1 + 2 y - 4$ и $0$ .

$\frac{1 + 2 y - 4 - 2}{(y + 1) (y - 2)}$

Этап 7.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $4$ из $1$ .

$\frac{2 y - 3 - 2}{(y + 1) (y - 2)}$

Этап 7.2.2

Вычтем $2$ из $- 3$ .

$\frac{2 y - 5}{(y + 1) (y - 2)}$