Алгебра Примеры

$\frac{x}{\sqrt{x + 11}} - 1 = \frac{1}{\sqrt{x + 11}}$

Этап 1

Решим относительно $\sqrt{x + 11}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\frac{x}{\sqrt{x + 11}} = \frac{1}{\sqrt{x + 11}} + 1$

Этап 1.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$\sqrt{x + 11}, \sqrt{x + 11}, 1$

Этап 1.2.2

Так как $\sqrt{x + 11}, \sqrt{x + 11}, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной ${\sqrt{x + 11}}^{1}, {\sqrt{x + 11}}^{1}$ .

Этап 1.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.2.5

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.2.6

Множителем ${\sqrt{x + 11}}^{1}$ является само значение $\sqrt{x + 11}$ .

${\sqrt{x + 11}}^{1} = \sqrt{x + 11}$

$\sqrt{x + 11}$ встречается $1$ раз.

Этап 1.2.7

НОК ${\sqrt{x + 11}}^{1}, {\sqrt{x + 11}}^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$\sqrt{x + 11}$

Этап 1.3

Каждый член в $\frac{x}{\sqrt{x + 11}} = \frac{1}{\sqrt{x + 11}} + 1$ умножим на $\sqrt{x + 11}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим каждый член $\frac{x}{\sqrt{x + 11}} = \frac{1}{\sqrt{x + 11}} + 1$ на $\sqrt{x + 11}$ .

$\frac{x}{\sqrt{x + 11}} \sqrt{x + 11} = \frac{1}{\sqrt{x + 11}} \sqrt{x + 11} + 1 \sqrt{x + 11}$

Этап 1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{x + 11}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{\sqrt{x + 11}} \sqrt{x + 11} = \frac{1}{\sqrt{x + 11}} \sqrt{x + 11} + 1 \sqrt{x + 11}$

Этап 1.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$x = \frac{1}{\sqrt{x + 11}} \sqrt{x + 11} + 1 \sqrt{x + 11}$

Этап 1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Сократим общий множитель $\sqrt{x + 11}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{1}{\sqrt{x + 11}} \sqrt{x + 11} + 1 \sqrt{x + 11}$

Этап 1.3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 1 + 1 \sqrt{x + 11}$

Этап 1.3.3.1.2

Умножим $\sqrt{x + 11}$ на $1$ .

$x = 1 + \sqrt{x + 11}$

Этап 1.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем уравнение в виде $1 + \sqrt{x + 11} = x$ .

$1 + \sqrt{x + 11} = x$

Этап 1.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{x + 11} = x - 1$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x + 11}}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 11}$ в виде ${(x + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 11)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(x + 11)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 11)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 11)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x + 11)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x + 11)}^{1} = {(x - 1)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$x + 11 = {(x - 1)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$x + 11 = (x - 1) (x - 1)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 11 = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 11 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 11 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x + 11 = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$x + 11 = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x + 11 = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x + 11 = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x + 11 = x^{2} - x - x + 1$

Этап 3.3.1.3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$x + 11 = x^{2} - 2 x + 1$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} - 2 x + 1 = x + 11$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 2 x + 1 - x = 11$

Этап 4.2.2

Вычтем $x$ из $- 2 x$ .

$x^{2} - 3 x + 1 = 11$

Этап 4.3

Вычтем $11$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 3 x + 1 - 11 = 0$

Этап 4.4

Вычтем $11$ из $1$ .

$x^{2} - 3 x - 10 = 0$

Этап 4.5

Разложим $x^{2} - 3 x - 10$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 10$ , а сумма — $- 3$ .

$- 5, 2$

Этап 4.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 5) (x + 2) = 0$

Этап 4.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 4.7

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 4.7.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 4.8

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 4.8.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 4.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 5) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 5, - 2$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{x}{\sqrt{x + 11}} - 1 = \frac{1}{\sqrt{x + 11}}$ истинным.

$x = 5$