Алгебра Примеры

$\frac{x^{2} (x + 2)}{(x + 2) (x + 1)} \leq 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x^{2} = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 3

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 3.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 4

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 5

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 6

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = - 2$

$x = - 1$

Этап 7

Объединим решения.

$x = 0, - 2, - 1$

Этап 8

Найдем область определения $\frac{x^{2} (x + 2)}{(x + 2) (x + 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} (x + 2)}{(x + 2) (x + 1)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$(x + 2) (x + 1) = 0$

Этап 8.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 8.2.2

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 8.2.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 8.2.3

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 8.2.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 8.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 2) (x + 1) = 0$ верно.

$x = - 2, - 1$

Этап 8.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 4)}^{2} ((- 4) + 2)}{((- 4) + 2) ((- 4) + 1)} \leq 0$

Этап 10.1.3

Левая часть $- 5.\overline{3}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 1.5$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $- 1.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 1.5)}^{2} ((- 1.5) + 2)}{((- 1.5) + 2) ((- 1.5) + 1)} \leq 0$

Этап 10.2.3

Левая часть $- 4.5$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 0.5$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $- 0.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 0.5)}^{2} ((- 0.5) + 2)}{((- 0.5) + 2) ((- 0.5) + 1)} \leq 0$

Этап 10.3.3

Левая часть $0.5$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.4

Проверим значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Выберем значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 10.4.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(2)}^{2} ((2) + 2)}{((2) + 2) ((2) + 1)} \leq 0$

Этап 10.4.3

Левая часть $1.\overline{3}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 0$ Ложь

$x > 0$ Ложь

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 0$ Ложь

$x > 0$ Ложь

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 2$ или $- 2 < x < - 1$ или $x = 0$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < - 2 or - 2 < x < - 1 or x = 0$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - 1) \cup [0, 0]$

Этап 13