Алгебра Примеры

$y^{4} = 2 - y^{2}$

Этап 1

Добавим $y^{2}$ к обеим частям уравнения.

$y^{4} + y^{2} = 2$

Этап 2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$y^{4} + y^{2} - 2 = 0$

Этап 3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $y^{4}$ в виде ${(y^{2})}^{2}$ .

${(y^{2})}^{2} + y^{2} - 2 = 0$

Этап 3.2

Пусть $u = y^{2}$ . Подставим $u$ вместо $y^{2}$ для всех.

$u^{2} + u - 2 = 0$

Этап 3.3

Разложим $u^{2} + u - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $1$ .

$- 1, 2$

Этап 3.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 1) (u + 2) = 0$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $u$ на $y^{2}$ .

$(y^{2} - 1) (y^{2} + 2) = 0$

Этап 3.5

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(y^{2} - 1^{2}) (y^{2} + 2) = 0$

Этап 3.6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = y$ и $b = 1$ .

$(y + 1) (y - 1) (y^{2} + 2) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y + 1 = 0$

$y - 1 = 0$

$y^{2} + 2 = 0$

Этап 5

Приравняем $y + 1$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $y + 1$ к $0$ .

$y + 1 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = - 1$

Этап 6

Приравняем $y - 1$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $y - 1$ к $0$ .

$y - 1 = 0$

Этап 6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = 1$

Этап 7

Приравняем $y^{2} + 2$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $y^{2} + 2$ к $0$ .

$y^{2} + 2 = 0$

Этап 7.2

Решим $y^{2} + 2 = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} = - 2$

Этап 7.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- 2}$

Этап 7.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$y = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Этап 7.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (2)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Этап 7.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$y = \pm i \sqrt{2}$

Этап 7.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = i \sqrt{2}$

Этап 7.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - i \sqrt{2}$

Этап 7.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(y + 1) (y - 1) (y^{2} + 2) = 0$ верно.

$y = - 1, 1, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$