Алгебра Примеры

$\csc^{2} (θ) - 2 = 0$

Этап 1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$\csc^{2} (θ) = 2$

Этап 2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\csc (θ) = \pm \sqrt{2}$

Этап 3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\csc (θ) = \sqrt{2}$

Этап 3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\csc (θ) = - \sqrt{2}$

Этап 3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\csc (θ) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 4

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $θ$ .

$\csc (θ) = \sqrt{2}$

$\csc (θ) = - \sqrt{2}$

Этап 5

Решим относительно $θ$ в $\csc (θ) = \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $θ$ из-под знака косеканса.

$θ = arccsc (\sqrt{2})$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Точное значение $arccsc (\sqrt{2})$ : $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Этап 5.3

Функция косеканса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$θ = π - \frac{π}{4}$

Этап 5.4

Упростим $π - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$θ = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 5.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 5.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 5.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$θ = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 5.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Этап 5.5

Найдем период $\csc (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.6

Период функции $\csc (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Решим относительно $θ$ в $\csc (θ) = - \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $θ$ из-под знака косеканса.

$θ = arccsc (- \sqrt{2})$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Точное значение $arccsc (- \sqrt{2})$ : $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Этап 6.3

Функция косеканса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Этап 6.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Этап 6.4.2

Результирующий угол $\frac{5 π}{4}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{4} + π$ на полный оборот.

$θ = \frac{5 π}{4}$

Этап 6.5

Найдем период $\csc (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Этап 6.6.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 6.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 6.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 6.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.4.1

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Этап 6.6.4.2

Вычтем $π$ из $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Этап 6.6.5

Перечислим новые углы.

$θ = \frac{7 π}{4}$

Этап 6.7

Период функции $\csc (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Перечислим все решения.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим ответы.

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$