Алгебра Примеры

$3 {(t^{2} - 16)}^{2} + 19 (t^{2} - 16) = - 6$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 {(t^{2} - 16)}^{2} + 19 t^{2} + 19 \cdot - 16 = - 6$

Этап 1.2

Умножим $19$ на $- 16$ .

$3 {(t^{2} - 16)}^{2} + 19 t^{2} - 304 = - 6$

Этап 2

Подставим $u = t^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$3 u^{2} - 77 u + 464 = - 6$

$u = t^{2}$

Этап 3

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$3 u^{2} - 77 u + 464 + 6 = 0$

Этап 4

Добавим $464$ и $6$ .

$3 u^{2} - 77 u + 470 = 0$

Этап 5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 470 = 1410$ , а сумма — $b = - 77$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $- 77$ из $- 77 u$ .

$3 u^{2} - 77 u + 470 = 0$

Этап 5.1.2

Запишем $- 77$ как $- 30$ плюс $- 47$

$3 u^{2} + (- 30 - 47) u + 470 = 0$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 u^{2} - 30 u - 47 u + 470 = 0$

Этап 5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 u^{2} - 30 u) - 47 u + 470 = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$3 u (u - 10) - 47 (u - 10) = 0$

Этап 5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $u - 10$ .

$(u - 10) (3 u - 47) = 0$

Этап 6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 10 = 0$

$3 u - 47 = 0$

Этап 7

Приравняем $u - 10$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $u - 10$ к $0$ .

$u - 10 = 0$

Этап 7.2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$u = 10$

Этап 8

Приравняем $3 u - 47$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $3 u - 47$ к $0$ .

$3 u - 47 = 0$

Этап 8.2

Решим $3 u - 47 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Добавим $47$ к обеим частям уравнения.

$3 u = 47$

Этап 8.2.2

Разделим каждый член $3 u = 47$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Разделим каждый член $3 u = 47$ на $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{47}{3}$

Этап 8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 u}{3} = \frac{47}{3}$

Этап 8.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{47}{3}$

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 10) (3 u - 47) = 0$ верно.

$u = 10, \frac{47}{3}$

Этап 10

Подставим вещественное значение $u = t^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$t^{2} = 10$

${(t^{2})}^{1} = \frac{47}{3}$

Этап 11

Решим первое уравнение относительно $t$ .

$t^{2} = 10$

Этап 12

Решим уравнение относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$t = \pm \sqrt{10}$

Этап 12.2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$t = \sqrt{10}$

Этап 12.2.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$t = - \sqrt{10}$

Этап 12.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$t = \sqrt{10}, - \sqrt{10}$

Этап 13

Решим второе уравнение относительно $t$ .

${(t^{2})}^{1} = \frac{47}{3}$

Этап 14

Решим уравнение относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Избавимся от скобок.

$t^{2} = \frac{47}{3}$

Этап 14.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$t = \pm \sqrt{\frac{47}{3}}$

Этап 14.3

Упростим $\pm \sqrt{\frac{47}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Перепишем $\sqrt{\frac{47}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{47}}{\sqrt{3}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47}}{\sqrt{3}}$

Этап 14.3.2

Умножим $\frac{\sqrt{47}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 14.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{47}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 14.3.3.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 14.3.3.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 14.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 14.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 14.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 14.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 14.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 14.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 14.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 14.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{3}$

Этап 14.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$t = \pm \frac{\sqrt{47 \cdot 3}}{3}$

Этап 14.3.4.2

Умножим $47$ на $3$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{141}}{3}$

Этап 14.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$t = \frac{\sqrt{141}}{3}$

Этап 14.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$t = - \frac{\sqrt{141}}{3}$

Этап 14.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$t = \frac{\sqrt{141}}{3}, - \frac{\sqrt{141}}{3}$

Этап 15

Решением $3 t^{4} - 77 t^{2} + 464 = - 6$ является $t = \sqrt{10}, - \sqrt{10}, \frac{\sqrt{141}}{3}, - \frac{\sqrt{141}}{3}$ .

$t = \sqrt{10}, - \sqrt{10}, \frac{\sqrt{141}}{3}, - \frac{\sqrt{141}}{3}$

Этап 16

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$t = \sqrt{10}, - \sqrt{10}, \frac{\sqrt{141}}{3}, - \frac{\sqrt{141}}{3}$

Десятичная форма:

$t = 3.16227766 \dots, - 3.16227766 \dots, 3.95811402 \dots, - 3.95811402 \dots$