Алгебра Примеры

$\tan (θ) + \cot (θ) = \sec (θ) \csc (θ)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Выразим $\tan (θ)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \cot (θ) = \sec (θ) \csc (θ)$

Этап 1.1.2

Выразим $\cot (θ)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \sec (θ) \csc (θ)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sec (θ) \csc (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Выразим $\sec (θ)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \frac{1}{\cos (θ)} \csc (θ)$

Этап 2.1.2

Выразим $\csc (θ)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)}$

Этап 2.1.3

Умножим $\frac{1}{\cos (θ)}$ на $\frac{1}{\sin (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 3

Умножим обе части уравнения на $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) (\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 4

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 5

Сократим общий множитель $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель.

$\cos (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 5.2

Перепишем это выражение.

$\sin (θ) + \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 6

Умножим $\cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\cos (θ)$ и $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 6.2

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 6.3

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (θ) + \frac{{\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 7

Сократим общий множитель $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $\cos (θ)$ из $\cos (θ) \sin (θ)$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) (\sin (θ))}$

Этап 7.2

Сократим общий множитель.

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 7.3

Перепишем это выражение.

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \frac{1}{\sin (θ)}$

Этап 8

Вычтем $\frac{1}{\sin (θ)}$ из обеих частей уравнения.

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} - \frac{1}{\sin (θ)} = 0$

Этап 9

Упростим $\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} - \frac{1}{\sin (θ)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ) - 1}{\sin (θ)} = 0$

Этап 9.2

Изменим порядок $\cos^{2} (θ)$ и $- 1$ .

$\sin (θ) + \frac{- 1 + \cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = 0$

Этап 9.3

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\sin (θ) + \frac{- 1 (1) + \cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = 0$

Этап 9.4

Вынесем множитель $- 1$ из $\cos^{2} (θ)$ .

$\sin (θ) + \frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (θ))}{\sin (θ)} = 0$

Этап 9.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (θ))$ .

$\sin (θ) + \frac{- 1 (1 - \cos^{2} (θ))}{\sin (θ)} = 0$

Этап 9.6

Перепишем $- 1 (1 - \cos^{2} (θ))$ в виде $- (1 - \cos^{2} (θ))$ .

$\sin (θ) + \frac{- (1 - \cos^{2} (θ))}{\sin (θ)} = 0$

Этап 9.7

Применим формулу Пифагора.

$\sin (θ) + \frac{- \sin^{2} (θ)}{\sin (θ)} = 0$

Этап 9.8

Сократим общий множитель $\sin^{2} (θ)$ и $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.8.1

Вынесем множитель $\sin (θ)$ из $- \sin^{2} (θ)$ .

$\sin (θ) + \frac{\sin (θ) (- \sin (θ))}{\sin (θ)} = 0$

Этап 9.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.8.2.1

Умножим на $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\sin (θ) (- \sin (θ))}{\sin (θ) \cdot 1} = 0$

Этап 9.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\sin (θ) + \frac{\sin (θ) (- \sin (θ))}{\sin (θ) \cdot 1} = 0$

Этап 9.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\sin (θ) + \frac{- \sin (θ)}{1} = 0$

Этап 9.8.2.4

Разделим $- \sin (θ)$ на $1$ .

$\sin (θ) - \sin (θ) = 0$

Этап 9.9

Вычтем $\sin (θ)$ из $\sin (θ)$ .

$0 = 0$

Этап 10

Поскольку $0 = 0$ , это уравнение всегда будет истинным.

Всегда истинное

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Всегда истинное

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$