Алгебра Примеры

$\frac{u^{3} + v^{3}}{u^{3} - v^{3}} \cdot \frac{u^{2} - v^{2}}{u^{2} + 2 u v + v^{2}}$

Этап 1

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = u$ и $b = v$ .

$\frac{(u + v) (u^{2} - u v + v^{2})}{u^{3} - v^{3}} \cdot \frac{u^{2} - v^{2}}{u^{2} + 2 u v + v^{2}}$

Этап 2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = u$ и $b = v$ .

$\frac{(u + v) (u^{2} - u v + v^{2})}{(u - v) (u^{2} + u v + v^{2})} \cdot \frac{u^{2} - v^{2}}{u^{2} + 2 u v + v^{2}}$

Этап 3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = u$ и $b = v$ .

$\frac{(u + v) (u^{2} - u v + v^{2})}{(u - v) (u^{2} + u v + v^{2})} \cdot \frac{(u + v) (u - v)}{u^{2} + 2 u v + v^{2}}$

Этап 4

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 u v = 2 \cdot u \cdot v$

Этап 4.2

Перепишем многочлен.

$\frac{(u + v) (u^{2} - u v + v^{2})}{(u - v) (u^{2} + u v + v^{2})} \cdot \frac{(u + v) (u - v)}{u^{2} + 2 \cdot u \cdot v + v^{2}}$

Этап 4.3

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = v$ .

$\frac{(u + v) (u^{2} - u v + v^{2})}{(u - v) (u^{2} + u v + v^{2})} \cdot \frac{(u + v) (u - v)}{{(u + v)}^{2}}$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим.

$\frac{(u + v) (u^{2} - u v + v^{2}) ((u + v) (u - v))}{(u - v) (u^{2} + u v + v^{2}) {(u + v)}^{2}}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $u + v$ и ${(u + v)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $u + v$ из $(u + v) (u^{2} - u v + v^{2}) ((u + v) (u - v))$ .

$\frac{(u + v) ((u^{2} - u v + v^{2}) ((u + v) (u - v)))}{(u - v) (u^{2} + u v + v^{2}) {(u + v)}^{2}}$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $u + v$ из $(u - v) (u^{2} + u v + v^{2}) {(u + v)}^{2}$ .

$\frac{(u + v) ((u^{2} - u v + v^{2}) ((u + v) (u - v)))}{(u + v) ((u - v) (u^{2} + u v + v^{2}) (u + v))}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(u + v) ((u^{2} - u v + v^{2}) ((u + v) (u - v)))}{(u + v) ((u - v) (u^{2} + u v + v^{2}) (u + v))}$

Этап 5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(u^{2} - u v + v^{2}) ((u + v) (u - v))}{(u - v) (u^{2} + u v + v^{2}) (u + v)}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $u + v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(u^{2} - u v + v^{2}) ((u + v) (u - v))}{(u - v) (u^{2} + u v + v^{2}) (u + v)}$

Этап 5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(u^{2} - u v + v^{2}) (u - v)}{(u - v) (u^{2} + u v + v^{2})}$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $u - v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(u^{2} - u v + v^{2}) (u - v)}{(u - v) (u^{2} + u v + v^{2})}$

Этап 5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{u^{2} - u v + v^{2}}{u^{2} + u v + v^{2}}$