Алгебра Примеры

$f (x) = - 2 x^{2} {(2 x - 1)}^{3} (4 x + 3)$

Этап 1

Упростим многочлен и упорядочим его слева направо, начиная с члена с наивысшей степенью.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (x) = - 2 x^{2} ({(2 x)}^{3} + 3 {(2 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) (4 x + 3)$

Этап 1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Применим правило умножения к $2 x$ .

$f (x) = - 2 x^{2} (2^{3} x^{3} + 3 {(2 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) (4 x + 3)$

Этап 1.2.1.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (x) = - 2 x^{2} (8 x^{3} + 3 {(2 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) (4 x + 3)$

Этап 1.2.1.3

Применим правило умножения к $2 x$ .

$f (x) = - 2 x^{2} (8 x^{3} + 3 (2^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 (2 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) (4 x + 3)$

Этап 1.2.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (x) = - 2 x^{2} (8 x^{3} + 3 (4 x^{2}) \cdot - 1 + 3 (2 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) (4 x + 3)$

Этап 1.2.1.5

Умножим $4$ на $3$ .

$f (x) = - 2 x^{2} (8 x^{3} + 12 x^{2} \cdot - 1 + 3 (2 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) (4 x + 3)$

Этап 1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $12$ .

$f (x) = - 2 x^{2} (8 x^{3} - 12 x^{2} + 3 (2 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) (4 x + 3)$

Этап 1.2.1.7

Умножим $2$ на $3$ .

$f (x) = - 2 x^{2} (8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) (4 x + 3)$

Этап 1.2.1.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (x) = - 2 x^{2} (8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x \cdot 1 + {(- 1)}^{3}) (4 x + 3)$

Этап 1.2.1.9

Умножим $6$ на $1$ .

$f (x) = - 2 x^{2} (8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x + {(- 1)}^{3}) (4 x + 3)$

Этап 1.2.1.10

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (x) = - 2 x^{2} (8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1) (4 x + 3)$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = (- 2 x^{2} (8 x^{3}) - 2 x^{2} (- 12 x^{2}) - 2 x^{2} (6 x) - 2 x^{2} \cdot - 1) (4 x + 3)$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x) = (- 2 \cdot (8 x^{2} x^{3}) - 2 x^{2} (- 12 x^{2}) - 2 x^{2} (6 x) - 2 x^{2} \cdot - 1) (4 x + 3)$

Этап 1.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x) = (- 2 \cdot (8 x^{2} x^{3}) - 2 \cdot (- 12 x^{2} x^{2}) - 2 x^{2} (6 x) - 2 x^{2} \cdot - 1) (4 x + 3)$

Этап 1.3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x) = (- 2 \cdot (8 x^{2} x^{3}) - 2 \cdot (- 12 x^{2} x^{2}) - 2 \cdot (6 x^{2} x) - 2 x^{2} \cdot - 1) (4 x + 3)$

Этап 1.3.4

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (x) = (- 2 \cdot (8 x^{2} x^{3}) - 2 \cdot (- 12 x^{2} x^{2}) - 2 \cdot (6 x^{2} x) + 2 x^{2}) (4 x + 3)$

Этап 1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Перенесем $x^{3}$ .

$f (x) = (- 2 \cdot (8 (x^{3} x^{2})) - 2 \cdot (- 12 x^{2} x^{2}) - 2 \cdot (6 x^{2} x) + 2 x^{2}) (4 x + 3)$

Этап 1.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x) = (- 2 \cdot (8 x^{3 + 2}) - 2 \cdot (- 12 x^{2} x^{2}) - 2 \cdot (6 x^{2} x) + 2 x^{2}) (4 x + 3)$

Этап 1.4.1.3

Добавим $3$ и $2$ .

$f (x) = (- 2 \cdot (8 x^{5}) - 2 \cdot (- 12 x^{2} x^{2}) - 2 \cdot (6 x^{2} x) + 2 x^{2}) (4 x + 3)$

Этап 1.4.2

Умножим $- 2$ на $8$ .

$f (x) = (- 16 x^{5} - 2 \cdot (- 12 x^{2} x^{2}) - 2 \cdot (6 x^{2} x) + 2 x^{2}) (4 x + 3)$

Этап 1.4.3

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f (x) = (- 16 x^{5} - 2 \cdot (- 12 (x^{2} x^{2})) - 2 \cdot (6 x^{2} x) + 2 x^{2}) (4 x + 3)$

Этап 1.4.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x) = (- 16 x^{5} - 2 \cdot (- 12 x^{2 + 2}) - 2 \cdot (6 x^{2} x) + 2 x^{2}) (4 x + 3)$

Этап 1.4.3.3

Добавим $2$ и $2$ .

$f (x) = (- 16 x^{5} - 2 \cdot (- 12 x^{4}) - 2 \cdot (6 x^{2} x) + 2 x^{2}) (4 x + 3)$

Этап 1.4.4

Умножим $- 2$ на $- 12$ .

$f (x) = (- 16 x^{5} + 24 x^{4} - 2 \cdot (6 x^{2} x) + 2 x^{2}) (4 x + 3)$

Этап 1.4.5

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1

Перенесем $x$ .

$f (x) = (- 16 x^{5} + 24 x^{4} - 2 \cdot (6 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2}) (4 x + 3)$

Этап 1.4.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f (x) = (- 16 x^{5} + 24 x^{4} - 2 \cdot (6 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2}) (4 x + 3)$

Этап 1.4.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x) = (- 16 x^{5} + 24 x^{4} - 2 \cdot (6 x^{1 + 2}) + 2 x^{2}) (4 x + 3)$

Этап 1.4.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f (x) = (- 16 x^{5} + 24 x^{4} - 2 \cdot (6 x^{3}) + 2 x^{2}) (4 x + 3)$

Этап 1.4.6

Умножим $- 2$ на $6$ .

$f (x) = (- 16 x^{5} + 24 x^{4} - 12 x^{3} + 2 x^{2}) (4 x + 3)$

Этап 1.5

Развернем $(- 16 x^{5} + 24 x^{4} - 12 x^{3} + 2 x^{2}) (4 x + 3)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f (x) = - 16 x^{5} (4 x) - 16 x^{5} \cdot 3 + 24 x^{4} (4 x) + 24 x^{4} \cdot 3 - 12 x^{3} (4 x) - 12 x^{3} \cdot 3 + 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot 3$

Этап 1.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x) = - 16 \cdot (4 x^{5} x) - 16 x^{5} \cdot 3 + 24 x^{4} (4 x) + 24 x^{4} \cdot 3 - 12 x^{3} (4 x) - 12 x^{3} \cdot 3 + 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot 3$

Этап 1.6.1.2

Умножим $x^{5}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.2.1

Перенесем $x$ .

$f (x) = - 16 \cdot (4 (x \cdot x^{5})) - 16 x^{5} \cdot 3 + 24 x^{4} (4 x) + 24 x^{4} \cdot 3 - 12 x^{3} (4 x) - 12 x^{3} \cdot 3 + 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot 3$

Этап 1.6.1.2.2

Умножим $x$ на $x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f (x) = - 16 \cdot (4 (x \cdot x^{5})) - 16 x^{5} \cdot 3 + 24 x^{4} (4 x) + 24 x^{4} \cdot 3 - 12 x^{3} (4 x) - 12 x^{3} \cdot 3 + 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot 3$

Этап 1.6.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x) = - 16 \cdot (4 x^{1 + 5}) - 16 x^{5} \cdot 3 + 24 x^{4} (4 x) + 24 x^{4} \cdot 3 - 12 x^{3} (4 x) - 12 x^{3} \cdot 3 + 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot 3$

Этап 1.6.1.2.3

Добавим $1$ и $5$ .

$f (x) = - 16 \cdot (4 x^{6}) - 16 x^{5} \cdot 3 + 24 x^{4} (4 x) + 24 x^{4} \cdot 3 - 12 x^{3} (4 x) - 12 x^{3} \cdot 3 + 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot 3$

Этап 1.6.1.3

Умножим $- 16$ на $4$ .

$f (x) = - 64 x^{6} - 16 x^{5} \cdot 3 + 24 x^{4} (4 x) + 24 x^{4} \cdot 3 - 12 x^{3} (4 x) - 12 x^{3} \cdot 3 + 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot 3$

Этап 1.6.1.4

Умножим $3$ на $- 16$ .

$f (x) = - 64 x^{6} - 48 x^{5} + 24 x^{4} (4 x) + 24 x^{4} \cdot 3 - 12 x^{3} (4 x) - 12 x^{3} \cdot 3 + 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot 3$

Этап 1.6.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x) = - 64 x^{6} - 48 x^{5} + 24 \cdot (4 x^{4} x) + 24 x^{4} \cdot 3 - 12 x^{3} (4 x) - 12 x^{3} \cdot 3 + 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot 3$

Этап 1.6.1.6

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.6.1

Перенесем $x$ .

$f (x) = - 64 x^{6} - 48 x^{5} + 24 \cdot (4 (x \cdot x^{4})) + 24 x^{4} \cdot 3 - 12 x^{3} (4 x) - 12 x^{3} \cdot 3 + 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot 3$

Этап 1.6.1.6.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f (x) = - 64 x^{6} - 48 x^{5} + 24 \cdot (4 (x \cdot x^{4})) + 24 x^{4} \cdot 3 - 12 x^{3} (4 x) - 12 x^{3} \cdot 3 + 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot 3$

Этап 1.6.1.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x) = - 64 x^{6} - 48 x^{5} + 24 \cdot (4 x^{1 + 4}) + 24 x^{4} \cdot 3 - 12 x^{3} (4 x) - 12 x^{3} \cdot 3 + 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot 3$

Этап 1.6.1.6.3

Добавим $1$ и $4$ .

$f (x) = - 64 x^{6} - 48 x^{5} + 24 \cdot (4 x^{5}) + 24 x^{4} \cdot 3 - 12 x^{3} (4 x) - 12 x^{3} \cdot 3 + 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot 3$

Этап 1.6.1.7

Умножим $24$ на $4$ .

$f (x) = - 64 x^{6} - 48 x^{5} + 96 x^{5} + 24 x^{4} \cdot 3 - 12 x^{3} (4 x) - 12 x^{3} \cdot 3 + 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot 3$

Этап 1.6.1.8

Умножим $3$ на $24$ .

$f (x) = - 64 x^{6} - 48 x^{5} + 96 x^{5} + 72 x^{4} - 12 x^{3} (4 x) - 12 x^{3} \cdot 3 + 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot 3$

Этап 1.6.1.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x) = - 64 x^{6} - 48 x^{5} + 96 x^{5} + 72 x^{4} - 12 \cdot (4 x^{3} x) - 12 x^{3} \cdot 3 + 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot 3$

Этап 1.6.1.10

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.10.1

Перенесем $x$ .

$f (x) = - 64 x^{6} - 48 x^{5} + 96 x^{5} + 72 x^{4} - 12 \cdot (4 (x \cdot x^{3})) - 12 x^{3} \cdot 3 + 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot 3$

Этап 1.6.1.10.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.10.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f (x) = - 64 x^{6} - 48 x^{5} + 96 x^{5} + 72 x^{4} - 12 \cdot (4 (x \cdot x^{3})) - 12 x^{3} \cdot 3 + 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot 3$

Этап 1.6.1.10.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x) = - 64 x^{6} - 48 x^{5} + 96 x^{5} + 72 x^{4} - 12 \cdot (4 x^{1 + 3}) - 12 x^{3} \cdot 3 + 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot 3$

Этап 1.6.1.10.3

Добавим $1$ и $3$ .

$f (x) = - 64 x^{6} - 48 x^{5} + 96 x^{5} + 72 x^{4} - 12 \cdot (4 x^{4}) - 12 x^{3} \cdot 3 + 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot 3$

Этап 1.6.1.11

Умножим $- 12$ на $4$ .

$f (x) = - 64 x^{6} - 48 x^{5} + 96 x^{5} + 72 x^{4} - 48 x^{4} - 12 x^{3} \cdot 3 + 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot 3$

Этап 1.6.1.12

Умножим $3$ на $- 12$ .

$f (x) = - 64 x^{6} - 48 x^{5} + 96 x^{5} + 72 x^{4} - 48 x^{4} - 36 x^{3} + 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot 3$

Этап 1.6.1.13

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x) = - 64 x^{6} - 48 x^{5} + 96 x^{5} + 72 x^{4} - 48 x^{4} - 36 x^{3} + 2 \cdot (4 x^{2} x) + 2 x^{2} \cdot 3$

Этап 1.6.1.14

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.14.1

Перенесем $x$ .

$f (x) = - 64 x^{6} - 48 x^{5} + 96 x^{5} + 72 x^{4} - 48 x^{4} - 36 x^{3} + 2 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot 3$

Этап 1.6.1.14.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.14.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f (x) = - 64 x^{6} - 48 x^{5} + 96 x^{5} + 72 x^{4} - 48 x^{4} - 36 x^{3} + 2 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot 3$

Этап 1.6.1.14.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x) = - 64 x^{6} - 48 x^{5} + 96 x^{5} + 72 x^{4} - 48 x^{4} - 36 x^{3} + 2 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 2 x^{2} \cdot 3$

Этап 1.6.1.14.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f (x) = - 64 x^{6} - 48 x^{5} + 96 x^{5} + 72 x^{4} - 48 x^{4} - 36 x^{3} + 2 \cdot (4 x^{3}) + 2 x^{2} \cdot 3$

Этап 1.6.1.15

Умножим $2$ на $4$ .

$f (x) = - 64 x^{6} - 48 x^{5} + 96 x^{5} + 72 x^{4} - 48 x^{4} - 36 x^{3} + 8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 3$

Этап 1.6.1.16

Умножим $3$ на $2$ .

$f (x) = - 64 x^{6} - 48 x^{5} + 96 x^{5} + 72 x^{4} - 48 x^{4} - 36 x^{3} + 8 x^{3} + 6 x^{2}$

Этап 1.6.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Добавим $- 48 x^{5}$ и $96 x^{5}$ .

$f (x) = - 64 x^{6} + 48 x^{5} + 72 x^{4} - 48 x^{4} - 36 x^{3} + 8 x^{3} + 6 x^{2}$

Этап 1.6.2.2

Вычтем $48 x^{4}$ из $72 x^{4}$ .

$f (x) = - 64 x^{6} + 48 x^{5} + 24 x^{4} - 36 x^{3} + 8 x^{3} + 6 x^{2}$

Этап 1.6.2.3

Добавим $- 36 x^{3}$ и $8 x^{3}$ .

$f (x) = - 64 x^{6} + 48 x^{5} + 24 x^{4} - 28 x^{3} + 6 x^{2}$

Этап 2

Степенью многочлена является наибольшая из степеней его членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Определим показатели степеней переменных в каждом члене и сложим их, чтобы определить степень каждого члена.

$- 64 x^{6} \to 6$

$48 x^{5} \to 5$

$24 x^{4} \to 4$

$- 28 x^{3} \to 3$

$6 x^{2} \to 2$

Этап 2.2

Наибольший показатель степени называется степенью многочлена.

$6$

Этап 3

Старший член многочлена — это член с наивысшим показателем степени.

$- 64 x^{6}$

Этап 4

Старший коэффициент многочлена — это коэффициент его старшего члена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Старший член многочлена — это член с наивысшим показателем степени.

$- 64 x^{6}$

Этап 4.2

Старший коэффициент многочлена — это коэффициент его старшего члена.

$- 64$

Этап 5

Перечислим результаты.

Степень многочлена: $6$

Старший член: $- 64 x^{6}$

Старший коэффициент: $- 64$