Алгебра Примеры

$2 \sin^{2} (x) - \sqrt{3} = 0$

Этап 1

Добавим $\sqrt{3}$ к обеим частям уравнения.

$2 \sin^{2} (x) = \sqrt{3}$

Этап 2

Разделим каждый член $2 \sin^{2} (x) = \sqrt{3}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $2 \sin^{2} (x) = \sqrt{3}$ на $2$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $\sin^{2} (x)$ на $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Этап 4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$

Этап 4.2

Перепишем $\sqrt{\sqrt{3}}$ в виде $\sqrt[4]{3}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}$

Этап 4.3

Умножим $\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 4.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 4.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 4.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 4.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Перепишем это выражение, используя наименьший общий индекс $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 4.5.1.2

Перепишем $2^{\frac{1}{2}}$ в виде $2^{\frac{2}{4}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \cdot 2^{\frac{2}{4}}}{2}$

Этап 4.5.1.3

Перепишем $2^{\frac{2}{4}}$ в виде $\sqrt[4]{2^{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt[4]{2^{2}}}{2}$

Этап 4.5.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3 \cdot 2^{2}}}{2}$

Этап 4.5.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3 \cdot 4}}{2}$

Этап 4.6

Умножим $3$ на $4$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{12}}{2}$

Этап 5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sin (x) = \frac{\sqrt[4]{12}}{2}$

Этап 5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt[4]{12}}{2}$

Этап 5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sin (x) = \frac{\sqrt[4]{12}}{2}, - \frac{\sqrt[4]{12}}{2}$

Этап 6

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt[4]{12}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt[4]{12}}{2}$

Этап 7

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{\sqrt[4]{12}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt[4]{12}}{2})$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{\sqrt[4]{12}}{2})$ .

$x = 1.19606189$

Этап 7.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = (3.14159265) - 1.19606189$

Этап 7.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 - 1.19606189$

Этап 7.4.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) - 1.19606189$

Этап 7.4.3

Вычтем $1.19606189$ из $3.14159265$ .

$x = 1.94553075$

Этап 7.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 7.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 7.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.19606189 + 2 π n, 1.94553075 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - \frac{\sqrt[4]{12}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt[4]{12}}{2})$

Этап 8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $\arcsin (- \frac{\sqrt[4]{12}}{2})$ .

$x = - 1.19606189$

Этап 8.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 (3.14159265) + 1.19606189 + 3.14159265$

Этап 8.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 (3.14159265) + 1.19606189 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 1.19606189 + 3.14159265 - 2 π$

Этап 8.4.2

Результирующий угол $4.33765454$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 (3.14159265) + 1.19606189 + 3.14159265$ на полный оборот.

$x = 4.33765454$

Этап 8.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 8.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 8.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 8.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Добавим $2 π$ к $- 1.19606189$ , чтобы найти положительный угол.

$- 1.19606189 + 2 π$

Этап 8.6.2

Вычтем $1.19606189$ из $2 π$ .

$5.08712341$

Этап 8.6.3

Перечислим новые углы.

$x = 5.08712341$

Этап 8.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 4.33765454 + 2 π n, 5.08712341 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Перечислим все решения.

$x = 1.19606189 + 2 π n, 1.94553075 + 2 π n, 4.33765454 + 2 π n, 5.08712341 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $1.19606189 + 2 π n$ и $4.33765454 + 2 π n$ в $1.19606189 + π n$ .

$x = 1.19606189 + π n, 1.94553075 + 2 π n, 5.08712341 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 10.2

Объединим $1.94553075 + 2 π n$ и $5.08712341 + 2 π n$ в $1.94553075 + π n$ .

$x = 1.19606189 + π n, 1.94553075 + π n$ , для любого целого $n$