Алгебра Примеры

$\sqrt{25 x} - \sqrt{16 x} = 3$

Этап 1

Решим относительно $\sqrt{25 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $16 x$ в виде ${(2^{2})}^{2} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\sqrt{25 x} - \sqrt{4^{2} x} = 3$

Этап 1.1.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{25 x} - \sqrt{{(2^{2})}^{2} x} = 3$

Этап 1.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\sqrt{25 x} - (2^{2} \sqrt{x}) = 3$

Этап 1.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{25 x} - (4 \sqrt{x}) = 3$

Этап 1.1.4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\sqrt{25 x} - 4 \sqrt{x} = 3$

Этап 1.2

Добавим $4 \sqrt{x}$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{25 x} = 3 + 4 \sqrt{x}$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{25 x}}^{2} = {(3 + 4 \sqrt{x})}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{25 x}$ в виде ${(25 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(25 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 + 4 \sqrt{x})}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(25 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(25 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(25 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 + 4 \sqrt{x})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(25 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 + 4 \sqrt{x})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(25 x)}^{1} = {(3 + 4 \sqrt{x})}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$25 x = {(3 + 4 \sqrt{x})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(3 + 4 \sqrt{x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(3 + 4 \sqrt{x})}^{2}$ в виде $(3 + 4 \sqrt{x}) (3 + 4 \sqrt{x})$ .

$25 x = (3 + 4 \sqrt{x}) (3 + 4 \sqrt{x})$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(3 + 4 \sqrt{x}) (3 + 4 \sqrt{x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$25 x = 3 (3 + 4 \sqrt{x}) + 4 \sqrt{x} (3 + 4 \sqrt{x})$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$25 x = 3 \cdot 3 + 3 (4 \sqrt{x}) + 4 \sqrt{x} (3 + 4 \sqrt{x})$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$25 x = 3 \cdot 3 + 3 (4 \sqrt{x}) + 4 \sqrt{x} \cdot 3 + 4 \sqrt{x} (4 \sqrt{x})$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $3$ на $3$ .

$25 x = 9 + 3 (4 \sqrt{x}) + 4 \sqrt{x} \cdot 3 + 4 \sqrt{x} (4 \sqrt{x})$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $4$ на $3$ .

$25 x = 9 + 12 \sqrt{x} + 4 \sqrt{x} \cdot 3 + 4 \sqrt{x} (4 \sqrt{x})$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $3$ на $4$ .

$25 x = 9 + 12 \sqrt{x} + 12 \sqrt{x} + 4 \sqrt{x} (4 \sqrt{x})$

Этап 3.3.1.3.1.4

Умножим $4 \sqrt{x} (4 \sqrt{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.4.1

Умножим $4$ на $4$ .

$25 x = 9 + 12 \sqrt{x} + 12 \sqrt{x} + 16 \sqrt{x} \sqrt{x}$

Этап 3.3.1.3.1.4.2

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$25 x = 9 + 12 \sqrt{x} + 12 \sqrt{x} + 16 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})$

Этап 3.3.1.3.1.4.3

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$25 x = 9 + 12 \sqrt{x} + 12 \sqrt{x} + 16 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})$

Этап 3.3.1.3.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$25 x = 9 + 12 \sqrt{x} + 12 \sqrt{x} + 16 {\sqrt{x}}^{1 + 1}$

Этап 3.3.1.3.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$25 x = 9 + 12 \sqrt{x} + 12 \sqrt{x} + 16 {\sqrt{x}}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.5

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$25 x = 9 + 12 \sqrt{x} + 12 \sqrt{x} + 16 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 x = 9 + 12 \sqrt{x} + 12 \sqrt{x} + 16 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 3.3.1.3.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$25 x = 9 + 12 \sqrt{x} + 12 \sqrt{x} + 16 x^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$25 x = 9 + 12 \sqrt{x} + 12 \sqrt{x} + 16 x^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$25 x = 9 + 12 \sqrt{x} + 12 \sqrt{x} + 16 x^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.5.5

Упростим.

$25 x = 9 + 12 \sqrt{x} + 12 \sqrt{x} + 16 x$

Этап 3.3.1.3.2

Добавим $12 \sqrt{x}$ и $12 \sqrt{x}$ .

$25 x = 9 + 24 \sqrt{x} + 16 x$

Этап 4

Решим относительно $24 \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $9 + 24 \sqrt{x} + 16 x = 25 x$ .

$9 + 24 \sqrt{x} + 16 x = 25 x$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $24 \sqrt{x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$24 \sqrt{x} + 16 x = 25 x - 9$

Этап 4.2.2

Вычтем $16 x$ из обеих частей уравнения.

$24 \sqrt{x} = 25 x - 9 - 16 x$

Этап 4.2.3

Вычтем $16 x$ из $25 x$ .

$24 \sqrt{x} = 9 x - 9$

Этап 5

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(24 \sqrt{x})}^{2} = {(9 x - 9)}^{2}$

Этап 6

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(24 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(9 x - 9)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим ${(24 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим правило умножения к $24 x^{\frac{1}{2}}$ .

$24^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(9 x - 9)}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Возведем $24$ в степень $2$ .

$576 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(9 x - 9)}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$576 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(9 x - 9)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$576 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(9 x - 9)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$576 x^{1} = {(9 x - 9)}^{2}$

Этап 6.2.1.4

Упростим.

$576 x = {(9 x - 9)}^{2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим ${(9 x - 9)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Перепишем ${(9 x - 9)}^{2}$ в виде $(9 x - 9) (9 x - 9)$ .

$576 x = (9 x - 9) (9 x - 9)$

Этап 6.3.1.2

Развернем $(9 x - 9) (9 x - 9)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$576 x = 9 x (9 x - 9) - 9 (9 x - 9)$

Этап 6.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$576 x = 9 x (9 x) + 9 x \cdot - 9 - 9 (9 x - 9)$

Этап 6.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$576 x = 9 x (9 x) + 9 x \cdot - 9 - 9 (9 x) - 9 \cdot - 9$

Этап 6.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$576 x = 9 \cdot 9 x \cdot x + 9 x \cdot - 9 - 9 (9 x) - 9 \cdot - 9$

Этап 6.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$576 x = 9 \cdot 9 (x \cdot x) + 9 x \cdot - 9 - 9 (9 x) - 9 \cdot - 9$

Этап 6.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$576 x = 9 \cdot 9 x^{2} + 9 x \cdot - 9 - 9 (9 x) - 9 \cdot - 9$

Этап 6.3.1.3.1.3

Умножим $9$ на $9$ .

$576 x = 81 x^{2} + 9 x \cdot - 9 - 9 (9 x) - 9 \cdot - 9$

Этап 6.3.1.3.1.4

Умножим $- 9$ на $9$ .

$576 x = 81 x^{2} - 81 x - 9 (9 x) - 9 \cdot - 9$

Этап 6.3.1.3.1.5

Умножим $9$ на $- 9$ .

$576 x = 81 x^{2} - 81 x - 81 x - 9 \cdot - 9$

Этап 6.3.1.3.1.6

Умножим $- 9$ на $- 9$ .

$576 x = 81 x^{2} - 81 x - 81 x + 81$

Этап 6.3.1.3.2

Вычтем $81 x$ из $- 81 x$ .

$576 x = 81 x^{2} - 162 x + 81$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$81 x^{2} - 162 x + 81 = 576 x$

Этап 7.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $576 x$ из обеих частей уравнения.

$81 x^{2} - 162 x + 81 - 576 x = 0$

Этап 7.2.2

Вычтем $576 x$ из $- 162 x$ .

$81 x^{2} - 738 x + 81 = 0$

Этап 7.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вынесем множитель $9$ из $81 x^{2} - 738 x + 81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Вынесем множитель $9$ из $81 x^{2}$ .

$9 (9 x^{2}) - 738 x + 81 = 0$

Этап 7.3.1.2

Вынесем множитель $9$ из $- 738 x$ .

$9 (9 x^{2}) + 9 (- 82 x) + 81 = 0$

Этап 7.3.1.3

Вынесем множитель $9$ из $81$ .

$9 (9 x^{2}) + 9 (- 82 x) + 9 (9) = 0$

Этап 7.3.1.4

Вынесем множитель $9$ из $9 (9 x^{2}) + 9 (- 82 x)$ .

$9 (9 x^{2} - 82 x) + 9 (9) = 0$

Этап 7.3.1.5

Вынесем множитель $9$ из $9 (9 x^{2} - 82 x) + 9 (9)$ .

$9 (9 x^{2} - 82 x + 9) = 0$

Этап 7.3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 9 \cdot 9 = 81$ , а сумма — $b = - 82$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 82$ из $- 82 x$ .

$9 (9 x^{2} - 82 x + 9) = 0$

Этап 7.3.2.1.1.2

Запишем $- 82$ как $- 1$ плюс $- 81$

$9 (9 x^{2} + (- 1 - 81) x + 9) = 0$

Этап 7.3.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$9 (9 x^{2} - 1 x - 81 x + 9) = 0$

Этап 7.3.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$9 ((9 x^{2} - 1 x) - 81 x + 9) = 0$

Этап 7.3.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$9 (x (9 x - 1) - 9 (9 x - 1)) = 0$

Этап 7.3.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $9 x - 1$ .

$9 ((9 x - 1) (x - 9)) = 0$

Этап 7.3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$9 (9 x - 1) (x - 9) = 0$

Этап 7.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$9 x - 1 = 0$

$x - 9 = 0$

Этап 7.5

Приравняем $9 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Приравняем $9 x - 1$ к $0$ .

$9 x - 1 = 0$

Этап 7.5.2

Решим $9 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$9 x = 1$

Этап 7.5.2.2

Разделим каждый член $9 x = 1$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.2.1

Разделим каждый член $9 x = 1$ на $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Этап 7.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Этап 7.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{9}$

Этап 7.6

Приравняем $x - 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Приравняем $x - 9$ к $0$ .

$x - 9 = 0$

Этап 7.6.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x = 9$

Этап 7.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $9 (9 x - 1) (x - 9) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{9}, 9$

Этап 8

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{25 x} - \sqrt{16 x} = 3$ истинным.

$x = 9$