Алгебра Примеры

$\sqrt{x^{2} - 6 x + 9} + 2 x = 9$

Этап 1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{x^{2} - 6 x + 9} = 9 - 2 x$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x^{2} - 6 x + 9}}^{2} = {(9 - 2 x)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} - 6 x + 9}$ в виде ${(x^{2} - 6 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - 6 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(9 - 2 x)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(x^{2} - 6 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 6 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 6 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(9 - 2 x)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x^{2} - 6 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(9 - 2 x)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x^{2} - 6 x + 9)}^{1} = {(9 - 2 x)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$x^{2} - 6 x + 9 = {(9 - 2 x)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(9 - 2 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(9 - 2 x)}^{2}$ в виде $(9 - 2 x) (9 - 2 x)$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = (9 - 2 x) (9 - 2 x)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(9 - 2 x) (9 - 2 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 6 x + 9 = 9 (9 - 2 x) - 2 x (9 - 2 x)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 6 x + 9 = 9 \cdot 9 + 9 (- 2 x) - 2 x (9 - 2 x)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 6 x + 9 = 9 \cdot 9 + 9 (- 2 x) - 2 x \cdot 9 - 2 x (- 2 x)$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $9$ на $9$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = 81 + 9 (- 2 x) - 2 x \cdot 9 - 2 x (- 2 x)$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $- 2$ на $9$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = 81 - 18 x - 2 x \cdot 9 - 2 x (- 2 x)$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $9$ на $- 2$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = 81 - 18 x - 18 x - 2 x (- 2 x)$

Этап 3.3.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} - 6 x + 9 = 81 - 18 x - 18 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x$

Этап 3.3.1.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = 81 - 18 x - 18 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x)$

Этап 3.3.1.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = 81 - 18 x - 18 x - 2 \cdot - 2 x^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.6

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = 81 - 18 x - 18 x + 4 x^{2}$

Этап 3.3.1.3.2

Вычтем $18 x$ из $- 18 x$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = 81 - 36 x + 4 x^{2}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Добавим $36 x$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 6 x + 9 + 36 x = 81 + 4 x^{2}$

Этап 4.1.2

Вычтем $4 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 6 x + 9 + 36 x - 4 x^{2} = 81$

Этап 4.1.3

Вычтем $4 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$- 3 x^{2} - 6 x + 9 + 36 x = 81$

Этап 4.1.4

Добавим $- 6 x$ и $36 x$ .

$- 3 x^{2} + 30 x + 9 = 81$

Этап 4.2

Вычтем $81$ из обеих частей уравнения.

$- 3 x^{2} + 30 x + 9 - 81 = 0$

Этап 4.3

Вычтем $81$ из $9$ .

$- 3 x^{2} + 30 x - 72 = 0$

Этап 4.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 x^{2} + 30 x - 72$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 30 x - 72 = 0$

Этап 4.4.1.2

Вынесем множитель $- 3$ из $30 x$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 10 x) - 72 = 0$

Этап 4.4.1.3

Вынесем множитель $- 3$ из $- 72$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 10 x) - 3 \cdot 24 = 0$

Этап 4.4.1.4

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 (x^{2}) - 3 (- 10 x)$ .

$- 3 (x^{2} - 10 x) - 3 \cdot 24 = 0$

Этап 4.4.1.5

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 (x^{2} - 10 x) - 3 (24)$ .

$- 3 (x^{2} - 10 x + 24) = 0$

Этап 4.4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Разложим $x^{2} - 10 x + 24$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $24$ , а сумма — $- 10$ .

$- 6, - 4$

Этап 4.4.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 3 ((x - 6) (x - 4)) = 0$

Этап 4.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 3 (x - 6) (x - 4) = 0$

Этап 4.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 4.6

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 4.6.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 4.7

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 4.7.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 4.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 3 (x - 6) (x - 4) = 0$ верно.

$x = 6, 4$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{x^{2} - 6 x + 9} + 2 x = 9$ истинным.

$x = 4$