Алгебра Примеры

$f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$

Этап 1

Запишем $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ в виде уравнения.

$y = x + 2 \sqrt{x - 1}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = y + 2 \sqrt{y - 1}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $y + 2 \sqrt{y - 1} = x$ .

$y + 2 \sqrt{y - 1} = x$

Этап 3.2

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$2 \sqrt{y - 1} = x - y$

Этап 3.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{y - 1})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Этап 3.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y - 1}$ в виде ${(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим ${(2 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Применим правило умножения к $2 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(y - 1)}^{1} = {(x - y)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.4

Упростим.

$4 (y - 1) = {(x - y)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y + 4 \cdot - 1 = {(x - y)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.6

Умножим $4$ на $- 1$ .

$4 y - 4 = {(x - y)}^{2}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Упростим ${(x - y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Перепишем ${(x - y)}^{2}$ в виде $(x - y) (x - y)$ .

$4 y - 4 = (x - y) (x - y)$

Этап 3.4.3.1.2

Развернем $(x - y) (x - y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y - 4 = x (x - y) - y (x - y)$

Этап 3.4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y - 4 = x \cdot x + x (- y) - y (x - y)$

Этап 3.4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y - 4 = x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)$

Этап 3.4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$4 y - 4 = x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)$

Этап 3.4.3.1.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x - y (- y)$

Этап 3.4.3.1.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y$

Этап 3.4.3.1.3.1.4

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.3.1.4.1

Перенесем $y$ .

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)$

Этап 3.4.3.1.3.1.4.2

Умножим $y$ на $y$ .

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}$

Этап 3.4.3.1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}$

Этап 3.4.3.1.3.1.6

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x + y^{2}$

Этап 3.4.3.1.3.2

Вычтем $y x$ из $- x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.3.2.1

Перенесем $y$ .

$4 y - 4 = x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}$

Этап 3.4.3.1.3.2.2

Вычтем $x y$ из $- x y$ .

$4 y - 4 = x^{2} - 2 x y + y^{2}$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} = 4 y - 4$

Этап 3.5.2

Вычтем $4 y$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} - 4 y = - 4$

Этап 3.5.3

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} - 4 y + 4 = 0$

Этап 3.5.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.5.5

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2 x - 4$ и $c = x^{2} + 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- (- 2 x - 4) \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- (- 2 x) + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.3

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.5

Пусть $u = 1 \cdot (x^{2} + 4)$ . Подставим $u$ вместо $1 \cdot (x^{2} + 4)$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1.5.1

Перепишем ${(- 2 x - 4)}^{2}$ в виде $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{(- 2 x - 4) (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.5.2

Развернем $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x - 4) - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1.5.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x \cdot x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.5.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1.5.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.5.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x^{2}) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.5.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.5.3.1.4

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.5.3.1.5

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.5.3.1.6

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.5.3.2

Добавим $8 x$ и $8 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.6

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.6.2

Вынесем множитель $4$ из $16 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.6.3

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.6.4

Вынесем множитель $4$ из $- 4 u$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.6.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{2}) + 4 (4 x)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.6.6

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.6.7

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - u)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.7

Заменим все вхождения $u$ на $1 \cdot (x^{2} + 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (1 \cdot (x^{2} + 4)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1.8.1.1

Умножим $x^{2} + 4$ на $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.8.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.8.1.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.8.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1.8.2.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 + 0 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.8.2.2

Добавим $4 x + 4$ и $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.8.2.3

Вычтем $4$ из $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 0)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.8.2.4

Добавим $4 x$ и $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x)}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.9

Умножим $4$ на $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{16 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.10

Перепишем $16 x$ в виде ${(2^{2})}^{2} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1.10.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.10.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.11

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{2 x + 4 \pm 2^{2} \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.12

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2}$

Этап 3.5.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- (- 2 x) + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.3

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.5

Пусть $u = 1 \cdot (x^{2} + 4)$ . Подставим $u$ вместо $1 \cdot (x^{2} + 4)$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1.5.1

Перепишем ${(- 2 x - 4)}^{2}$ в виде $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{(- 2 x - 4) (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.5.2

Развернем $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x - 4) - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1.5.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x \cdot x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.5.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1.5.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.5.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x^{2}) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.5.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.5.3.1.4

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.5.3.1.5

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.5.3.1.6

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.5.3.2

Добавим $8 x$ и $8 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.6

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.6.2

Вынесем множитель $4$ из $16 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.6.3

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.6.4

Вынесем множитель $4$ из $- 4 u$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.6.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{2}) + 4 (4 x)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.6.6

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.6.7

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - u)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.7

Заменим все вхождения $u$ на $1 \cdot (x^{2} + 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (1 \cdot (x^{2} + 4)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1.8.1.1

Умножим $x^{2} + 4$ на $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.8.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.8.1.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.8.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1.8.2.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 + 0 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.8.2.2

Добавим $4 x + 4$ и $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.8.2.3

Вычтем $4$ из $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 0)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.8.2.4

Добавим $4 x$ и $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x)}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.9

Умножим $4$ на $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{16 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.10

Перепишем $16 x$ в виде ${(2^{2})}^{2} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1.10.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.10.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.11

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{2 x + 4 \pm 2^{2} \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.12

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2}$

Этап 3.5.7.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{2 x + 4 + 4 \sqrt{x}}{2}$

Этап 3.5.7.4

Сократим общий множитель $2 x + 4 + 4 \sqrt{x}$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$y = \frac{2 (x) + 4 + 4 \sqrt{x}}{2}$

Этап 3.5.7.4.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y = \frac{2 (x) + 2 \cdot 2 + 4 \sqrt{x}}{2}$

Этап 3.5.7.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (2)$ .

$y = \frac{2 (x + 2) + 4 \sqrt{x}}{2}$

Этап 3.5.7.4.4

Вынесем множитель $2$ из $4 \sqrt{x}$ .

$y = \frac{2 (x + 2) + 2 (2 \sqrt{x})}{2}$

Этап 3.5.7.4.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x + 2) + 2 (2 \sqrt{x})$ .

$y = \frac{2 (x + 2 + 2 \sqrt{x})}{2}$

Этап 3.5.7.4.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.4.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y = \frac{2 (x + 2 + 2 \sqrt{x})}{2 (1)}$

Этап 3.5.7.4.6.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2 (x + 2 + 2 \sqrt{x})}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.4.6.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x + 2 + 2 \sqrt{x}}{1}$

Этап 3.5.7.4.6.4

Разделим $x + 2 + 2 \sqrt{x}$ на $1$ .

$y = x + 2 + 2 \sqrt{x}$

Этап 3.5.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.8.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- (- 2 x) + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.8.1.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.8.1.3

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.8.1.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.8.1.5

Пусть $u = 1 \cdot (x^{2} + 4)$ . Подставим $u$ вместо $1 \cdot (x^{2} + 4)$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.8.1.5.1

Перепишем ${(- 2 x - 4)}^{2}$ в виде $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{(- 2 x - 4) (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.8.1.5.2

Развернем $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.8.1.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x - 4) - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.8.1.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.8.1.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.8.1.5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.8.1.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.8.1.5.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x \cdot x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.8.1.5.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.8.1.5.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.8.1.5.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x^{2}) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.8.1.5.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.8.1.5.3.1.4

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.8.1.5.3.1.5

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.8.1.5.3.1.6

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.8.1.5.3.2

Добавим $8 x$ и $8 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.8.1.6

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.8.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.8.1.6.2

Вынесем множитель $4$ из $16 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.8.1.6.3

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.8.1.6.4

Вынесем множитель $4$ из $- 4 u$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.8.1.6.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{2}) + 4 (4 x)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.8.1.6.6

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.8.1.6.7

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - u)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.8.1.7

Заменим все вхождения $u$ на $1 \cdot (x^{2} + 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (1 \cdot (x^{2} + 4)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.8.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.8.1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.8.1.8.1.1

Умножим $x^{2} + 4$ на $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.8.1.8.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.8.1.8.1.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.8.1.8.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.8.1.8.2.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 + 0 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.8.1.8.2.2

Добавим $4 x + 4$ и $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.8.1.8.2.3

Вычтем $4$ из $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 0)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.8.1.8.2.4

Добавим $4 x$ и $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x)}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.8.1.9

Умножим $4$ на $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{16 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.8.1.10

Перепишем $16 x$ в виде ${(2^{2})}^{2} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.8.1.10.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.8.1.10.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.8.1.11

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{2 x + 4 \pm 2^{2} \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.8.1.12

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.8.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2}$

Этап 3.5.8.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{2 x + 4 - 4 \sqrt{x}}{2}$

Этап 3.5.8.4

Сократим общий множитель $2 x + 4 - 4 \sqrt{x}$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.8.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$y = \frac{2 (x) + 4 - 4 \sqrt{x}}{2}$

Этап 3.5.8.4.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y = \frac{2 (x) + 2 \cdot 2 - 4 \sqrt{x}}{2}$

Этап 3.5.8.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (2)$ .

$y = \frac{2 (x + 2) - 4 \sqrt{x}}{2}$

Этап 3.5.8.4.4

Вынесем множитель $2$ из $- 4 \sqrt{x}$ .

$y = \frac{2 (x + 2) + 2 (- 2 \sqrt{x})}{2}$

Этап 3.5.8.4.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x + 2) + 2 (- 2 \sqrt{x})$ .

$y = \frac{2 (x + 2 - 2 \sqrt{x})}{2}$

Этап 3.5.8.4.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.8.4.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y = \frac{2 (x + 2 - 2 \sqrt{x})}{2 (1)}$

Этап 3.5.8.4.6.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2 (x + 2 - 2 \sqrt{x})}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.8.4.6.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x + 2 - 2 \sqrt{x}}{1}$

Этап 3.5.8.4.6.4

Разделим $x + 2 - 2 \sqrt{x}$ на $1$ .

$y = x + 2 - 2 \sqrt{x}$

Этап 3.5.9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = x + 2 + 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 - 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 + 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 - 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 + 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 - 2 \sqrt{x}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$ обратной к $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ и $f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[1, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $x + 2 + 2 \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 5.3.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[0, \infty)$

Этап 5.4

Так как область определения $f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$ не совпадает со множеством значений $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ , то $f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$ не является функцией, обратной к $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ .

Обратная не существует

Этап 6