Алгебра Примеры

$3 + \sqrt{3 x + 12} \leq 9$

Этап 1

Перенесем все члены без $\sqrt{3 x + 12}$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$\sqrt{3 x + 12} \leq 9 - 3$

Этап 1.2

Вычтем $3$ из $9$ .

$\sqrt{3 x + 12} \leq 6$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{3 x + 12}}^{2} \leq 6^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 x + 12}$ в виде ${(3 x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 x + 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 6^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(3 x + 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 x + 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x + 12)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 6^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(3 x + 12)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 6^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(3 x + 12)}^{1} \leq 6^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$3 x + 12 \leq 6^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$3 x + 12 \leq 36$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $12$ из обеих частей неравенства.

$3 x \leq 36 - 12$

Этап 4.1.2

Вычтем $12$ из $36$ .

$3 x \leq 24$

Этап 4.2

Разделим каждый член $3 x \leq 24$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $3 x \leq 24$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} \leq \frac{24}{3}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} \leq \frac{24}{3}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{24}{3}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Разделим $24$ на $3$ .

$x \leq 8$

Этап 5

Найдем область определения $- 6 + \sqrt{3 (x + 4)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{3 (x + 4)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$3 (x + 4) \geq 0$

Этап 5.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $3 (x + 4) \geq 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Разделим каждый член $3 (x + 4) \geq 0$ на $3$ .

$\frac{3 (x + 4)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Этап 5.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (x + 4)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Этап 5.2.1.2.1.2

Разделим $x + 4$ на $1$ .

$x + 4 \geq \frac{0}{3}$

Этап 5.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$x + 4 \geq 0$

Этап 5.2.2

Вычтем $4$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 4$

Этап 5.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- 4, \infty)$

Этап 6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 4$

$- 4 < x < 8$

$x > 8$

Этап 7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проверим значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 7.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$3 + \sqrt{3 (- 6) + 12} \leq 9$

Этап 7.1.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 7.2

Проверим значение на интервале $- 4 < x < 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Выберем значение на интервале $- 4 < x < 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 7.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$3 + \sqrt{3 (0) + 12} \leq 9$

Этап 7.2.3

Левая часть $6.46410161$ меньше правой части $9$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 7.3

Проверим значение на интервале $x > 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Выберем значение на интервале $x > 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 10$

Этап 7.3.2

Заменим $x$ на $10$ в исходном неравенстве.

$3 + \sqrt{3 (10) + 12} \leq 9$

Этап 7.3.3

Левая часть $9.48074069$ больше правой части $9$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 7.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < 8$ Истина

$x > 8$ Ложь

$x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < 8$ Истина

$x > 8$ Ложь

Этап 8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 4 \leq x \leq 8$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- 4 \leq x \leq 8$

Интервальное представление:

$[- 4, 8]$

Этап 10