Алгебра Примеры

$\frac{x}{x + 2} + \frac{2}{x^{2} - 4} - \frac{x}{x - 2}$

Этап 1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{x}{x + 2} + \frac{2}{x^{2} - 2^{2}} - \frac{x}{x - 2}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{x}{x + 2} + \frac{2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x}{x - 2}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{x}{x + 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x}{x + 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x}{x - 2}$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{x}{x + 2}$ на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x}{x - 2}$

Этап 3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x (x - 2) + 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x}{x - 2}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x}{x - 2}$

Этап 4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 2 + 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x}{x - 2}$

Этап 4.3

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x}{x - 2}$

Этап 5

Чтобы записать $- \frac{x}{x - 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Этап 6

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 2) (x - 2)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{x}{x - 2}$ на $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)}$

Этап 6.2

Изменим порядок множителей в $(x - 2) (x + 2)$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} - 2 x + 2 - x (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 2 x + 2 - x \cdot x - x \cdot 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 8.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 2 - (x \cdot x) - x \cdot 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 8.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 2 - x^{2} - x \cdot 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 8.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 2 - x^{2} - 2 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 8.4

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{- 2 x + 2 + 0 - 2 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 8.5

Добавим $- 2 x$ и $0$ .

$\frac{- 2 x + 2 - 2 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 8.6

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$\frac{- 4 x + 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 8.7

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x$ .

$\frac{2 (- 2 x) + 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 8.7.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (- 2 x) + 2 (1)}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 8.7.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 2 x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (- 2 x + 1)}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 9

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$\frac{2 (- (2 x) + 1)}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 9.2

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (2 x) - 1 (- 1))}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 9.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (2 x - 1))}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 9.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Перепишем $- (2 x - 1)$ в виде $- 1 (2 x - 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (2 x - 1))}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 9.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 (2 x - 1)}{(x + 2) (x - 2)}$