Алгебра Примеры

$\frac{3 x}{x + 2} + \frac{2}{x - 1} = \frac{5}{x^{2} + x - 2}$

Этап 1

Разложим $x^{2} + x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $1$ .

$- 1, 2$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{3 x}{x + 2} + \frac{2}{x - 1} = \frac{5}{(x - 1) (x + 2)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 2, x - 1, (x - 1) (x + 2)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $x + 2$ является само значение $x + 2$ .

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $x - 1$ является само значение $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $x + 2$ является само значение $x + 2$ .

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $x + 2, x - 1, x - 1, x + 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 2) (x - 1)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{3 x}{x + 2} + \frac{2}{x - 1} = \frac{5}{(x - 1) (x + 2)}$ умножим на $(x + 2) (x - 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{3 x}{x + 2} + \frac{2}{x - 1} = \frac{5}{(x - 1) (x + 2)}$ на $(x + 2) (x - 1)$ .

$\frac{3 x}{x + 2} ((x + 2) (x - 1)) + \frac{2}{x - 1} ((x + 2) (x - 1)) = \frac{5}{(x - 1) (x + 2)} ((x + 2) (x - 1))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{x + 2} ((x + 2) (x - 1)) + \frac{2}{x - 1} ((x + 2) (x - 1)) = \frac{5}{(x - 1) (x + 2)} ((x + 2) (x - 1))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$3 x (x - 1) + \frac{2}{x - 1} ((x + 2) (x - 1)) = \frac{5}{(x - 1) (x + 2)} ((x + 2) (x - 1))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + \frac{2}{x - 1} ((x + 2) (x - 1)) = \frac{5}{(x - 1) (x + 2)} ((x + 2) (x - 1))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Перенесем $x$ .

$3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 + \frac{2}{x - 1} ((x + 2) (x - 1)) = \frac{5}{(x - 1) (x + 2)} ((x + 2) (x - 1))$

Этап 3.2.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 + \frac{2}{x - 1} ((x + 2) (x - 1)) = \frac{5}{(x - 1) (x + 2)} ((x + 2) (x - 1))$

Этап 3.2.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$3 x^{2} - 3 x + \frac{2}{x - 1} ((x + 2) (x - 1)) = \frac{5}{(x - 1) (x + 2)} ((x + 2) (x - 1))$

Этап 3.2.1.5

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Вынесем множитель $x - 1$ из $(x + 2) (x - 1)$ .

$3 x^{2} - 3 x + \frac{2}{x - 1} ((x - 1) (x + 2)) = \frac{5}{(x - 1) (x + 2)} ((x + 2) (x - 1))$

Этап 3.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$3 x^{2} - 3 x + \frac{2}{x - 1} ((x - 1) (x + 2)) = \frac{5}{(x - 1) (x + 2)} ((x + 2) (x - 1))$

Этап 3.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$3 x^{2} - 3 x + 2 (x + 2) = \frac{5}{(x - 1) (x + 2)} ((x + 2) (x - 1))$

Этап 3.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 3 x + 2 x + 2 \cdot 2 = \frac{5}{(x - 1) (x + 2)} ((x + 2) (x - 1))$

Этап 3.2.1.7

Умножим $2$ на $2$ .

$3 x^{2} - 3 x + 2 x + 4 = \frac{5}{(x - 1) (x + 2)} ((x + 2) (x - 1))$

Этап 3.2.2

Добавим $- 3 x$ и $2 x$ .

$3 x^{2} - x + 4 = \frac{5}{(x - 1) (x + 2)} ((x + 2) (x - 1))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $(x + 2) (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $(x + 2) (x - 1)$ из $(x - 1) (x + 2)$ .

$3 x^{2} - x + 4 = \frac{5}{(x + 2) (x - 1) (1)} ((x + 2) (x - 1))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$3 x^{2} - x + 4 = \frac{5}{(x + 2) (x - 1) \cdot 1} ((x + 2) (x - 1))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$3 x^{2} - x + 4 = 5$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} - x + 4 - 5 = 0$

Этап 4.1.2

Вычтем $5$ из $4$ .

$3 x^{2} - x - 1 = 0$

Этап 4.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.3

Подставим значения $a = 3$ , $b = - 1$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 1)}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.4.1.2.2

Умножим $- 12$ на $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.4.1.3

Добавим $1$ и $12$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$

Этап 4.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}, \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}, \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

Десятичная форма:

$x = 0.76759187 \dots, - 0.43425854 \dots$