Алгебра Примеры

$x^{2} - 10 x - 81 - y^{2} - 18 y + 25$

Этап 1

Перегруппируем члены.

$x^{2} - 10 x + 25 - 81 - y^{2} - 18 y$

Этап 2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x^{2} - 10 x + 5^{2} - 81 - y^{2} - 18 y$

Этап 2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Этап 2.3

Перепишем многочлен.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2} - 81 - y^{2} - 18 y$

Этап 2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

${(x - 5)}^{2} - 81 - y^{2} - 18 y$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Изменим порядок членов.

${(x - 5)}^{2} - y^{2} - 18 y - 81$

Этап 3.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 81 = 81$ , а сумма — $b = - 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $- 18$ из $- 18 y$ .

${(x - 5)}^{2} - y^{2} - 18 (y) - 81$

Этап 3.2.2

Запишем $- 18$ как $- 9$ плюс $- 9$

${(x - 5)}^{2} - y^{2} + (- 9 - 9) y - 81$

Этап 3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

${(x - 5)}^{2} - y^{2} - 9 y - 9 y - 81$

Этап 3.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

${(x - 5)}^{2} + (- y^{2} - 9 y) - 9 y - 81$

Этап 3.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

${(x - 5)}^{2} + y (- y - 9) + 9 (- y - 9)$

Этап 3.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- y - 9$ .

${(x - 5)}^{2} + (- y - 9) (y + 9)$

Этап 4

Перепишем $(y + 9) (y + 9)$ в виде ${(y + 9)}^{2}$ .

${(x - 5)}^{2} - {(y + 9)}^{2}$

Этап 5

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x - 5$ и $b = y + 9$ .

$(x - 5 + y + 9) (x - 5 - (y + 9))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Добавим $- 5$ и $9$ .

$(x + y + 4) (x - 5 - (y + 9))$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + y + 4) (x - 5 - y - 1 \cdot 9)$

Этап 6.3

Умножим $- 1$ на $9$ .

$(x + y + 4) (x - 5 - y - 9)$

Этап 6.4

Вычтем $9$ из $- 5$ .

$(x + y + 4) (x - y - 14)$