Алгебра Примеры

$\cos (2 u) = \cos^{2} (u) - \sin^{2} (u)$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $\cos^{2} (u)$ из обеих частей уравнения.

$\cos (2 u) - \cos^{2} (u) = - \sin^{2} (u)$

Этап 1.2

Добавим $\sin^{2} (u)$ к обеим частям уравнения.

$\cos (2 u) - \cos^{2} (u) + \sin^{2} (u) = 0$

Этап 2

Заменим $\sin^{2} (u)$ на $1 - \cos^{2} (u)$ .

$\cos (2 u) - \cos^{2} (u) (1 - \cos^{2} (u)) = 0$

Этап 3

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) (1 - \cos^{2} (u)) = 0$

Этап 4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) (1 - \cos^{2} (u)) = - 1$

Этап 5

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим формулу Пифагора.

$- 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = - 1$

Этап 6

Решим уравнение относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Этап 6.2

Заменим $- 2 \sin^{2} (u)$ на $- 2 (1 - \cos^{2} (u))$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$- 2 (1 - \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Этап 6.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 \cdot 1 - 2 (- \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Этап 6.3.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 - 2 (- \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Этап 6.3.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- 2 + 2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Этап 6.4

Добавим $- 2$ и $1$ .

$2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - 1 = 0$

Этап 6.5

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Упростим $2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Перенесем $- 1$ .

$2 \cos^{2} (u) - 1 - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

Этап 6.5.1.2

Применим формулу двойного угла для косинуса.

$\cos (2 u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

Этап 6.6

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

Этап 6.7

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = - 1$

Этап 6.8

Решим уравнение относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Этап 6.8.2

Заменим $- 2 \sin^{2} (u)$ на $- 2 (1 - \cos^{2} (u))$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$- 2 (1 - \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Этап 6.8.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 \cdot 1 - 2 (- \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Этап 6.8.3.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 - 2 (- \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Этап 6.8.3.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- 2 + 2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Этап 6.8.4

Добавим $- 2$ и $1$ .

$2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - 1 = 0$

Этап 6.8.5

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.5.1

Упростим $2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.5.1.1

Перенесем $- 1$ .

$2 \cos^{2} (u) - 1 - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

Этап 6.8.5.1.2

Применим формулу двойного угла для косинуса.

$\cos (2 u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

Этап 6.8.6

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

Этап 6.8.7

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = - 1$

Этап 6.8.8

Решим уравнение относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Этап 6.8.8.2

Заменим $- 2 \sin^{2} (u)$ на $- 2 (1 - \cos^{2} (u))$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$- 2 (1 - \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Этап 6.8.8.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 \cdot 1 - 2 (- \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Этап 6.8.8.3.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 - 2 (- \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Этап 6.8.8.3.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- 2 + 2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Этап 6.8.8.4

Добавим $- 2$ и $1$ .

$2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - 1 = 0$

Этап 6.8.8.5

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.5.1

Упростим $2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.5.1.1

Перенесем $- 1$ .

$2 \cos^{2} (u) - 1 - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

Этап 6.8.8.5.1.2

Применим формулу двойного угла для косинуса.

$\cos (2 u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

Этап 6.8.8.6

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

Этап 6.8.8.7

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = - 1$

Этап 6.8.8.8

Решим уравнение относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Этап 6.8.8.8.2

Заменим $- 2 \sin^{2} (u)$ на $- 2 (1 - \cos^{2} (u))$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$- 2 (1 - \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Этап 6.8.8.8.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 \cdot 1 - 2 (- \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Этап 6.8.8.8.3.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 - 2 (- \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Этап 6.8.8.8.3.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- 2 + 2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Этап 6.8.8.8.4

Добавим $- 2$ и $1$ .

$2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - 1 = 0$

Этап 6.8.8.8.5

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.5.1

Упростим $2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.5.1.1

Перенесем $- 1$ .

$2 \cos^{2} (u) - 1 - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

Этап 6.8.8.8.5.1.2

Применим формулу двойного угла для косинуса.

$\cos (2 u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

Этап 6.8.8.8.6

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (u) - \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

Этап 6.8.8.8.7

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.7.1

Упростим $\cos^{2} (u) - \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.7.1.1

Перенесем $- \cos^{2} (u) \sin^{2} (u)$ .

$\cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - \sin^{2} (u) = 0$

Этап 6.8.8.8.7.1.2

Умножим на $1$ .

$\cos^{2} (u) \cdot 1 - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - \sin^{2} (u) = 0$

Этап 6.8.8.8.7.1.3

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.7.1.3.1

Вынесем множитель $\cos^{2} (u)$ из $- \cos^{2} (u) \sin^{2} (u)$ .

$\cos^{2} (u) \cdot 1 + \cos^{2} (u) (- 1 \sin^{2} (u)) - \sin^{2} (u) = 0$

Этап 6.8.8.8.7.1.3.2

Вынесем множитель $\cos^{2} (u)$ из $\cos^{2} (u) \cdot 1 + \cos^{2} (u) (- 1 \sin^{2} (u))$ .

$\cos^{2} (u) \cdot (1 - 1 \sin^{2} (u)) - \sin^{2} (u) = 0$

Этап 6.8.8.8.7.1.3.3

Перепишем $- 1 \sin^{2} (u)$ в виде $- \sin^{2} (u)$ .

$\cos^{2} (u) \cdot (1 - \sin^{2} (u)) - \sin^{2} (u) = 0$

Этап 6.8.8.8.7.1.4

Применим формулу Пифагора.

$\cos^{2} (u) \cdot \cos^{2} (u) - \sin^{2} (u) = 0$

Этап 6.8.8.8.7.1.5

Перепишем $\cos^{2} (u) \cdot \cos^{2} (u)$ в виде ${(\cos (u) \cos (u))}^{2}$ .

${(\cos (u) \cos (u))}^{2} - \sin^{2} (u) = 0$

Этап 6.8.8.8.7.1.6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \cos (u) \cos (u)$ и $b = \sin (u)$ .

$(\cos (u) \cos (u) + \sin (u)) (\cos (u) \cos (u) - \sin (u)) = 0$

Этап 6.8.8.8.7.1.7

Умножим $\cos (u) \cos (u)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.7.1.7.1

Возведем $\cos (u)$ в степень $1$ .

$(\cos^{1} (u) \cos (u) + \sin (u)) (\cos (u) \cos (u) - \sin (u)) = 0$

Этап 6.8.8.8.7.1.7.2

Возведем $\cos (u)$ в степень $1$ .

$(\cos^{1} (u) \cos^{1} (u) + \sin (u)) (\cos (u) \cos (u) - \sin (u)) = 0$

Этап 6.8.8.8.7.1.7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$({\cos (u)}^{1 + 1} + \sin (u)) (\cos (u) \cos (u) - \sin (u)) = 0$

Этап 6.8.8.8.7.1.7.4

Добавим $1$ и $1$ .

$(\cos^{2} (u) + \sin (u)) (\cos (u) \cos (u) - \sin (u)) = 0$

Этап 6.8.8.8.7.1.8

Умножим $\cos (u) \cos (u)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.7.1.8.1

Возведем $\cos (u)$ в степень $1$ .

$(\cos^{2} (u) + \sin (u)) (\cos^{1} (u) \cos (u) - \sin (u)) = 0$

Этап 6.8.8.8.7.1.8.2

Возведем $\cos (u)$ в степень $1$ .

$(\cos^{2} (u) + \sin (u)) (\cos^{1} (u) \cos^{1} (u) - \sin (u)) = 0$

Этап 6.8.8.8.7.1.8.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(\cos^{2} (u) + \sin (u)) ({\cos (u)}^{1 + 1} - \sin (u)) = 0$

Этап 6.8.8.8.7.1.8.4

Добавим $1$ и $1$ .

$(\cos^{2} (u) + \sin (u)) (\cos^{2} (u) - \sin (u)) = 0$

Этап 6.8.8.8.7.1.9

Развернем $(\cos^{2} (u) + \sin (u)) (\cos^{2} (u) - \sin (u))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.7.1.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos^{2} (u) (\cos^{2} (u) - \sin (u)) + \sin (u) (\cos^{2} (u) - \sin (u)) = 0$

Этап 6.8.8.8.7.1.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos^{2} (u) \cos^{2} (u) + \cos^{2} (u) (- \sin (u)) + \sin (u) (\cos^{2} (u) - \sin (u)) = 0$

Этап 6.8.8.8.7.1.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos^{2} (u) \cos^{2} (u) + \cos^{2} (u) (- \sin (u)) + \sin (u) \cos^{2} (u) + \sin (u) (- \sin (u)) = 0$

Этап 6.8.8.8.7.1.10

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.7.1.10.1

Объединим противоположные члены в $\cos^{2} (u) \cos^{2} (u) + \cos^{2} (u) (- \sin (u)) + \sin (u) \cos^{2} (u) + \sin (u) (- \sin (u))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.7.1.10.1.1

Изменим порядок множителей в членах $\cos^{2} (u) (- \sin (u))$ и $\sin (u) \cos^{2} (u)$ .

$\cos^{2} (u) \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin (u) + \cos^{2} (u) \sin (u) + \sin (u) (- \sin (u)) = 0$

Этап 6.8.8.8.7.1.10.1.2

Добавим $- \cos^{2} (u) \sin (u)$ и $\cos^{2} (u) \sin (u)$ .

$\cos^{2} (u) \cos^{2} (u) + 0 + \sin (u) (- \sin (u)) = 0$

Этап 6.8.8.8.7.1.10.1.3

Добавим $\cos^{2} (u) \cos^{2} (u)$ и $0$ .

$\cos^{2} (u) \cos^{2} (u) + \sin (u) (- \sin (u)) = 0$

Этап 6.8.8.8.7.1.10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.7.1.10.2.1

Умножим $\cos^{2} (u)$ на $\cos^{2} (u)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.7.1.10.2.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\cos (u)}^{2 + 2} + \sin (u) (- \sin (u)) = 0$

Этап 6.8.8.8.7.1.10.2.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\cos^{4} (u) + \sin (u) (- \sin (u)) = 0$

Этап 6.8.8.8.7.1.10.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\cos^{4} (u) - \sin (u) \sin (u) = 0$

Этап 6.8.8.8.7.1.10.2.3

Умножим $- \sin (u) \sin (u)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.7.1.10.2.3.1

Возведем $\sin (u)$ в степень $1$ .

$\cos^{4} (u) - (\sin^{1} (u) \sin (u)) = 0$

Этап 6.8.8.8.7.1.10.2.3.2

Возведем $\sin (u)$ в степень $1$ .

$\cos^{4} (u) - (\sin^{1} (u) \sin^{1} (u)) = 0$

Этап 6.8.8.8.7.1.10.2.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos^{4} (u) - {\sin (u)}^{1 + 1} = 0$

Этап 6.8.8.8.7.1.10.2.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{4} (u) - \sin^{2} (u) = 0$

Этап 6.8.8.8.8

Решим уравнение относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.8.1

Заменим $\sin^{2} (u)$ на $1 - \cos^{2} (u)$ .

$\cos^{4} (u) - (1 - \cos^{2} (u)) = 0$

Этап 6.8.8.8.8.2

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.8.2.1

Применим формулу Пифагора.

$\cos^{4} (u) - \sin^{2} (u) = 0$

Этап 6.8.8.8.8.2.2

Разложим $\cos^{4} (u) - \sin^{2} (u)$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.8.2.2.1

Перепишем $\cos^{4} (u)$ в виде ${(\cos^{2} (u))}^{2}$ .

${(\cos^{2} (u))}^{2} - \sin^{2} (u) = 0$

Этап 6.8.8.8.8.2.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \cos^{2} (u)$ и $b = \sin (u)$ .

$(\cos^{2} (u) + \sin (u)) (\cos^{2} (u) - \sin (u)) = 0$

Этап 6.8.8.8.8.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos^{2} (u) + \sin (u) = 0$

$\cos^{2} (u) - \sin (u) = 0$

Этап 6.8.8.8.8.2.4

Приравняем $\cos^{2} (u) + \sin (u)$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.8.2.4.1

Приравняем $\cos^{2} (u) + \sin (u)$ к $0$ .

$\cos^{2} (u) + \sin (u) = 0$

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2

Решим $\cos^{2} (u) + \sin (u) = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.1

Заменим $\cos^{2} (u)$ на $1 - \sin^{2} (u)$ .

$(1 - \sin^{2} (u)) + \sin (u) = 0$

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.2

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.2.1

Подставим $u$ вместо $\sin (u)$ .

$1 - {(u)}^{2} + u = 0$

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.2.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.2.3

Подставим значения $a = - 1$ , $b = 1$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.2.4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.2.4.1.2.2

Умножим $4$ на $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.2.4.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.2.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.2.4.3

Упростим $\frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.2.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.2.6

Подставим $\sin (u)$ вместо $u$ .

$\sin (u) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.2.7

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $u$ .

$\sin (u) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\sin (u) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.2.8

Решим относительно $u$ в $\sin (u) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.2.8.1

Множество значений синуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9

Решим относительно $u$ в $\sin (u) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $u$ из синуса.

$u = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.2.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ .

$u = - 0.66623943$

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$u = (3.14159265) + 0.66623943$

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.4

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.4.1

Избавимся от скобок.

$u = 3.14159265 + 0.66623943$

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.4.2

Избавимся от скобок.

$u = (3.14159265) + 0.66623943$

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.4.3

Добавим $3.14159265$ и $0.66623943$ .

$u = 3.80783208$

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.5

Найдем период $\sin (u)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.6.1

Добавим $2 π$ к $- 0.66623943$ , чтобы найти положительный угол.

$- 0.66623943 + 2 π$

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.6.2

Вычтем $0.66623943$ из $2 π$ .

$5.61694587$

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.6.3

Перечислим новые углы.

$u = 5.61694587$

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.7

Период функции $\sin (u)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$u = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6.8.8.8.8.2.4.2.2.10

Перечислим все решения.

$u = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6.8.8.8.8.2.5

Приравняем $\cos^{2} (u) - \sin (u)$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.8.2.5.1

Приравняем $\cos^{2} (u) - \sin (u)$ к $0$ .

$\cos^{2} (u) - \sin (u) = 0$

Этап 6.8.8.8.8.2.5.2

Решим $\cos^{2} (u) - \sin (u) = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.8.2.5.2.1

Заменим $\cos^{2} (u)$ на $1 - \sin^{2} (u)$ .

$(1 - \sin^{2} (u)) - \sin (u) = 0$

Этап 6.8.8.8.8.2.5.2.2

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.8.2.5.2.2.1

Подставим $u$ вместо $\sin (u)$ .

$1 - {(u)}^{2} - (u) = 0$

Этап 6.8.8.8.8.2.5.2.2.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.8.8.8.8.2.5.2.2.3

Подставим значения $a = - 1$ , $b = - 1$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 6.8.8.8.8.2.5.2.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.8.2.5.2.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.8.2.5.2.2.4.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Этап 6.8.8.8.8.2.5.2.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.8.2.5.2.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Этап 6.8.8.8.8.2.5.2.2.4.1.2.2

Умножим $4$ на $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Этап 6.8.8.8.8.2.5.2.2.4.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Этап 6.8.8.8.8.2.5.2.2.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

Этап 6.8.8.8.8.2.5.2.2.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Этап 6.8.8.8.8.2.5.2.2.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 6.8.8.8.8.2.5.2.2.6

Подставим $\sin (u)$ вместо $u$ .

$\sin (u) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 6.8.8.8.8.2.5.2.2.7

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $u$ .

$\sin (u) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\sin (u) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 6.8.8.8.8.2.5.2.2.8

Решим относительно $u$ в $\sin (u) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.8.2.5.2.2.8.1

Множество значений синуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9

Решим относительно $u$ в $\sin (u) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $u$ из синуса.

$u = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

Этап 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.2.1

Найдем значение $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ .

$u = 0.66623943$

Этап 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$u = 2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265$

Этап 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265$ .

$u = 2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265 - 2 π$

Этап 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.4.2

Результирующий угол $2.47535322$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265$ на полный оборот.

$u = 2.47535322$

Этап 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.5

Найдем период $\sin (u)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.6

Период функции $\sin (u)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$u = 0.66623943 + 2 π n, 2.47535322 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6.8.8.8.8.2.5.2.2.10

Перечислим все решения.

$u = 0.66623943 + 2 π n, 2.47535322 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6.8.8.8.8.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(\cos^{2} (u) + \sin (u)) (\cos^{2} (u) - \sin (u)) = 0$ верно.

$u = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n, 0.66623943 + 2 π n, 2.47535322 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Объединим ответы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $3.80783208 + 2 π n$ и $0.66623943 + 2 π n$ в $0.66623943 + π n$ .

$u = 0.66623943 + π n, 5.61694587 + 2 π n, 2.47535322 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7.2

Объединим $5.61694587 + 2 π n$ и $2.47535322 + 2 π n$ в $2.47535322 + π n$ .

$u = 0.66623943 + π n, 2.47535322 + π n$ , для любого целого $n$