Алгебра Примеры

$f (x) = - \sqrt{x + 2}$ ; for $x \geq - 2$

Этап 1

Найдем множество значений заданной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

$(- \infty, 0]$

Этап 1.2

Преобразуем $(- \infty, 0]$ в неравенство.

$y \leq 0$

Этап 2

Найдем обратную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поменяем переменные местами.

$x = - \sqrt{y + 2}$

Этап 2.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем уравнение в виде $- \sqrt{y + 2} = x$ .

$- \sqrt{y + 2} = x$

Этап 2.2.2

Разделим каждый член $- \sqrt{y + 2} = x$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разделим каждый член $- \sqrt{y + 2} = x$ на $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{y + 2}}{- 1} = \frac{x}{- 1}$

Этап 2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sqrt{y + 2}}{1} = \frac{x}{- 1}$

Этап 2.2.2.2.2

Разделим $\sqrt{y + 2}$ на $1$ .

$\sqrt{y + 2} = \frac{x}{- 1}$

Этап 2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{x}{- 1}$ .

$\sqrt{y + 2} = - 1 \cdot x$

Этап 2.2.2.3.2

Перепишем $- 1 \cdot x$ в виде $- x$ .

$\sqrt{y + 2} = - x$

Этап 2.2.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{y + 2}}^{2} = {(- x)}^{2}$

Этап 2.2.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y + 2}$ в виде ${(y + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x)}^{2}$

Этап 2.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Упростим ${({(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Этап 2.2.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(y + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Этап 2.2.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(y + 2)}^{1} = {(- x)}^{2}$

Этап 2.2.4.2.1.2

Упростим.

$y + 2 = {(- x)}^{2}$

Этап 2.2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.3.1

Упростим ${(- x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.3.1.1

Применим правило умножения к $- x$ .

$y + 2 = {(- 1)}^{2} x^{2}$

Этап 2.2.4.3.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$y + 2 = 1 x^{2}$

Этап 2.2.4.3.1.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$y + 2 = x^{2}$

Этап 2.2.5

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$y = x^{2} - 2$

Этап 2.3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2$

Этап 3

Найдем обратную функцию, используя область определения и множество значений исходной функции.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2, x \leq 0$

Этап 4