Алгебра Примеры

$\frac{4}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x + 2} = \frac{x - 1}{x - 2}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{4}{x^{2} - 2^{2}} - \frac{1}{x + 2} = \frac{x - 1}{x - 2}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{4}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{1}{x + 2} = \frac{x - 1}{x - 2}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(x + 2) (x - 2), x + 2, x - 2$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $x + 2$ является само значение $x + 2$ .

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $x - 2$ является само значение $x - 2$ .

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $x + 2$ является само значение $x + 2$ .

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $x - 2$ является само значение $x - 2$ .

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $x + 2, x - 2, x + 2, x - 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 2) (x - 2)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{4}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{1}{x + 2} = \frac{x - 1}{x - 2}$ умножим на $(x + 2) (x - 2)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{4}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{1}{x + 2} = \frac{x - 1}{x - 2}$ на $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{4}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2)) - \frac{1}{x + 2} ((x + 2) (x - 2)) = \frac{x - 1}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $(x + 2) (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2)) - \frac{1}{x + 2} ((x + 2) (x - 2)) = \frac{x - 1}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$4 - \frac{1}{x + 2} ((x + 2) (x - 2)) = \frac{x - 1}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x + 2}$ в числитель.

$4 + \frac{- 1}{x + 2} ((x + 2) (x - 2)) = \frac{x - 1}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$4 + \frac{- 1}{x + 2} ((x + 2) (x - 2)) = \frac{x - 1}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$4 - (x - 2) = \frac{x - 1}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 3.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 - x - - 2 = \frac{x - 1}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 3.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$4 - x + 2 = \frac{x - 1}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 3.2.2

Добавим $4$ и $2$ .

$- x + 6 = \frac{x - 1}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $x - 2$ из $(x + 2) (x - 2)$ .

$- x + 6 = \frac{x - 1}{x - 2} ((x - 2) (x + 2))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$- x + 6 = \frac{x - 1}{x - 2} ((x - 2) (x + 2))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$- x + 6 = (x - 1) (x + 2)$

Этап 3.3.2

Развернем $(x - 1) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x + 6 = x (x + 2) - 1 (x + 2)$

Этап 3.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- x + 6 = x \cdot x + x \cdot 2 - 1 (x + 2)$

Этап 3.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x + 6 = x \cdot x + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2$

Этап 3.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$- x + 6 = x^{2} + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2$

Этап 3.3.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$- x + 6 = x^{2} + 2 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 2$

Этап 3.3.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$- x + 6 = x^{2} + 2 x - x - 1 \cdot 2$

Этап 3.3.3.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- x + 6 = x^{2} + 2 x - x - 2$

Этап 3.3.3.2

Вычтем $x$ из $2 x$ .

$- x + 6 = x^{2} + x - 2$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} + x - 2 = - x + 6$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} + x - 2 + x = 6$

Этап 4.2.2

Добавим $x$ и $x$ .

$x^{2} + 2 x - 2 = 6$

Этап 4.3

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 2 x - 2 - 6 = 0$

Этап 4.4

Вычтем $6$ из $- 2$ .

$x^{2} + 2 x - 8 = 0$

Этап 4.5

Разложим $x^{2} + 2 x - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $2$ .

$- 2, 4$

Этап 4.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 2) (x + 4) = 0$

Этап 4.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 4.7

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 4.7.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 4.8

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 4.8.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 4.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 2, - 4$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{4}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x + 2} = \frac{x - 1}{x - 2}$ истинным.

$x = - 4$