Алгебра Примеры

$\log_{\frac{1}{5}} (5 x - 1) \geq 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в равенство.

$\log_{\frac{1}{5}} (5 x - 1) = 0$

Этап 2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\log_{\frac{1}{5}} (5 x - 1) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

${(\frac{1}{5})}^{0} = 5 x - 1$

Этап 2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем уравнение в виде $5 x - 1 = {(\frac{1}{5})}^{0}$ .

$5 x - 1 = {(\frac{1}{5})}^{0}$

Этап 2.2.2

Упростим ${(\frac{1}{5})}^{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{5}$ .

$5 x - 1 = \frac{1^{0}}{5^{0}}$

Этап 2.2.2.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$5 x - 1 = \frac{1}{5^{0}}$

Этап 2.2.2.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$5 x - 1 = \frac{1}{1}$

Этап 2.2.2.4

Разделим $1$ на $1$ .

$5 x - 1 = 1$

Этап 2.2.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$5 x = 1 + 1$

Этап 2.2.3.2

Добавим $1$ и $1$ .

$5 x = 2$

Этап 2.2.4

Разделим каждый член $5 x = 2$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Разделим каждый член $5 x = 2$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Этап 2.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Этап 2.2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{5}$

Этап 3

Найдем область определения $\log_{\frac{1}{5}} (5 x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\log_{\frac{1}{5}} (5 x - 1)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$5 x - 1 > 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$5 x > 1$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $5 x > 1$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $5 x > 1$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} > \frac{1}{5}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} > \frac{1}{5}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{1}{5}$

Этап 3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(\frac{1}{5}, \infty)$

Этап 4

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{1}{5}$

$\frac{1}{5} < x < \frac{2}{5}$

$x > \frac{2}{5}$

Этап 5

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{1}{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{1}{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 5.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\log_{\frac{1}{5}} (5 (0) - 1) \geq 0$

Этап 5.1.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.1.3.2

Левая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.2

Проверим значение на интервале $\frac{1}{5} < x < \frac{2}{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{1}{5} < x < \frac{2}{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.3$

Этап 5.2.2

Заменим $x$ на $0.3$ в исходном неравенстве.

$\log_{\frac{1}{5}} (5 (0.3) - 1) \geq 0$

Этап 5.2.3

Левая часть $0.43067655$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 5.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{2}{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{2}{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 5.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\log_{\frac{1}{5}} (5 (3) - 1) \geq 0$

Этап 5.3.3

Левая часть $- 1.63973851$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{1}{5}$ Ложь

$\frac{1}{5} < x < \frac{2}{5}$ Истина

$x > \frac{2}{5}$ Ложь

$x < \frac{1}{5}$ Ложь

$\frac{1}{5} < x < \frac{2}{5}$ Истина

$x > \frac{2}{5}$ Ложь

Этап 6

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{1}{5} < x \leq \frac{2}{5}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$\frac{1}{5} < x \leq \frac{2}{5}$

Интервальное представление:

$(\frac{1}{5}, \frac{2}{5}]$

Этап 8