Алгебра Примеры

$\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 5 x} + \frac{1}{x} = \frac{5}{x^{2} + 5 x}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{x \cdot x + 5 x} + \frac{1}{x} = \frac{5}{x^{2} + 5 x}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $5 x$ .

$\frac{2 x^{2}}{x \cdot x + x \cdot 5} + \frac{1}{x} = \frac{5}{x^{2} + 5 x}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 5$ .

$\frac{2 x^{2}}{x (x + 5)} + \frac{1}{x} = \frac{5}{x^{2} + 5 x}$

Этап 1.2

Сократим выражение $\frac{2 x^{2}}{x (x + 5)}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x (2 x)}{x (x + 5)} + \frac{1}{x} = \frac{5}{x^{2} + 5 x}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (2 x)}{x (x + 5)} + \frac{1}{x} = \frac{5}{x^{2} + 5 x}$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x}{x + 5} + \frac{1}{x} = \frac{5}{x^{2} + 5 x}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{2 x}{x + 5} + \frac{1}{x} = \frac{5}{x \cdot x + 5 x}$

Этап 1.3.2

Вынесем множитель $x$ из $5 x$ .

$\frac{2 x}{x + 5} + \frac{1}{x} = \frac{5}{x \cdot x + x \cdot 5}$

Этап 1.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 5$ .

$\frac{2 x}{x + 5} + \frac{1}{x} = \frac{5}{x (x + 5)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 5, x, x (x + 5)$

Этап 2.2

Поскольку $x + 5, x, x (x + 5)$ содержит как числа, так и переменные, для нахождения наименьшего общего кратного требуется четыре этапа. Найдем наименьшее общее кратное для числовой, переменной и составной переменной частей. Затем перемножим их.

Этапы поиска НОК для $x + 5, x, x (x + 5)$ :

1. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 1$ .

2. Найдем НОК для переменной части $x^{1}, x^{1}$ .

3. Найдем НОК для составной переменной части $x + 5, x + 5$ .

4. Перемножим все НОК.

Этап 2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.5

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.6

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

НОК $x^{1}, x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x$

Этап 2.8

Множителем $x + 5$ является само значение $x + 5$ .

$(x + 5) = x + 5$

$(x + 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $x + 5, x + 5$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x + 5$

Этап 2.10

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$x (x + 5)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{2 x}{x + 5} + \frac{1}{x} = \frac{5}{x (x + 5)}$ умножим на $x (x + 5)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{2 x}{x + 5} + \frac{1}{x} = \frac{5}{x (x + 5)}$ на $x (x + 5)$ .

$\frac{2 x}{x + 5} (x (x + 5)) + \frac{1}{x} (x (x + 5)) = \frac{5}{x (x + 5)} (x (x + 5))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Вынесем множитель $x + 5$ из $x (x + 5)$ .

$\frac{2 x}{x + 5} ((x + 5) x) + \frac{1}{x} (x (x + 5)) = \frac{5}{x (x + 5)} (x (x + 5))$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{x + 5} ((x + 5) x) + \frac{1}{x} (x (x + 5)) = \frac{5}{x (x + 5)} (x (x + 5))$

Этап 3.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$2 x \cdot x + \frac{1}{x} (x (x + 5)) = \frac{5}{x (x + 5)} (x (x + 5))$

Этап 3.2.1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (x^{1} x) + \frac{1}{x} (x (x + 5)) = \frac{5}{x (x + 5)} (x (x + 5))$

Этап 3.2.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) + \frac{1}{x} (x (x + 5)) = \frac{5}{x (x + 5)} (x (x + 5))$

Этап 3.2.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{1 + 1} + \frac{1}{x} (x (x + 5)) = \frac{5}{x (x + 5)} (x (x + 5))$

Этап 3.2.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$2 x^{2} + \frac{1}{x} (x (x + 5)) = \frac{5}{x (x + 5)} (x (x + 5))$

Этап 3.2.1.6

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} + \frac{1}{x} (x (x + 5)) = \frac{5}{x (x + 5)} (x (x + 5))$

Этап 3.2.1.6.2

Перепишем это выражение.

$2 x^{2} + x + 5 = \frac{5}{x (x + 5)} (x (x + 5))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $x (x + 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} + x + 5 = \frac{5}{x (x + 5)} (x (x + 5))$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$2 x^{2} + x + 5 = 5$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} + x + 5 - 5 = 0$

Этап 4.2

Объединим противоположные члены в $2 x^{2} + x + 5 - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $5$ из $5$ .

$2 x^{2} + x + 0 = 0$

Этап 4.2.2

Добавим $2 x^{2} + x$ и $0$ .

$2 x^{2} + x = 0$

Этап 4.3

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{2}$ .

$x (2 x) + x = 0$

Этап 4.3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x (2 x) + x = 0$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$x (2 x) + x \cdot 1 = 0$

Этап 4.3.4

Вынесем множитель $x$ из $x (2 x) + x \cdot 1$ .

$x (2 x + 1) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$2 x + 1 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 4.6

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Этап 4.6.2

Решим $2 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 4.6.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 4.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 4.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 4.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (2 x + 1) = 0$ верно.

$x = 0, - \frac{1}{2}$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 5 x} + \frac{1}{x} = \frac{5}{x^{2} + 5 x}$ истинным.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$x = - 0.5$