Алгебра Примеры

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) \div (x + 2)$

Этап 1

Чтобы вычислить остаток, сначала разделим многочлены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Развернем $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x^{2} + x + 1) - 1 (x^{2} + x + 1)}{x + 2}$

Этап 1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x^{2} + x) + x \cdot 1 - 1 (x^{2} + x + 1)}{x + 2}$

Этап 1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x^{2} + x + 1)}{x + 2}$

Этап 1.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x^{2} + x) - 1 \cdot 1}{x + 2}$

Этап 1.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{x + 2}$

Этап 1.1.6

Изменим порядок $x$ и $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{x + 2}$

Этап 1.1.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{x + 2}$

Этап 1.1.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{1 + 2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{x + 2}$

Этап 1.1.9

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{x^{3} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{x + 2}$

Этап 1.1.10

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{3} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{x + 2}$

Этап 1.1.11

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{3} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{x + 2}$

Этап 1.1.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{3} + x^{1 + 1} + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{x + 2}$

Этап 1.1.13

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{x + 2}$

Этап 1.1.14

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} + x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{x + 2}$

Этап 1.1.15

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} + x - 1 x^{2} - 1 x - 1}{x + 2}$

Этап 1.1.16

Перенесем $x$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} - 1 x^{2} + x - 1 x - 1}{x + 2}$

Этап 1.1.17

Вычтем $1 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 0 + x - 1 x - 1}{x + 2}$

Этап 1.1.18

Добавим $x^{3}$ и $0$ .

$\frac{x^{3} + x - 1 x - 1}{x + 2}$

Этап 1.1.19

Вычтем $1 x$ из $x$ .

$\frac{x^{3} + 0 - 1}{x + 2}$

Этап 1.1.20

Добавим $x^{3}$ и $0$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x + 2}$

$\frac{x^{3} - 1}{x + 2}$

Этап 1.2

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

+

$2$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

-

$1$

Этап 1.3

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

Этап 1.4

Умножим новое частное на делитель.

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 1.5

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 2 x^{2}$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 1.6

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$2 x^{2}$

Этап 1.7

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 1.8

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$	-	$2 x$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 1.9

Умножим новое частное на делитель.

					$x^{2}$	-	$2 x$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
						-	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Этап 1.10

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x^{2} - 4 x$ .

					$x^{2}$	-	$2 x$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
						+	$2 x^{2}$	+	$4 x$

Этап 1.11

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

					$x^{2}$	-	$2 x$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
						+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
								+	$4 x$

Этап 1.12

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

					$x^{2}$	-	$2 x$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
						+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
								+	$4 x$	-	$1$

Этап 1.13

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
						+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
								+	$4 x$	-	$1$

Этап 1.14

Умножим новое частное на делитель.

					$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
						+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
								+	$4 x$	-	$1$
								+	$4 x$	+	$8$

Этап 1.15

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x + 8$ .

					$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
						+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
								+	$4 x$	-	$1$
								-	$4 x$	-	$8$

Этап 1.16

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

					$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
						+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
								+	$4 x$	-	$1$
								-	$4 x$	-	$8$
										-	$9$

Этап 1.17

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$x^{2} - 2 x + 4 - \frac{9}{x + 2}$

$x^{2} - 2 x + 4 - \frac{9}{x + 2}$

Этап 2

Поскольку последний член в полученном выражении является дробью, числитель этой дроби является остатком.

$- 9$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$