Алгебра Примеры

x^{4} - 4 x^{3} + 8 x \geq 0

$x^{4} - 4 x^{3} + 8 x \geq 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

x^{4} - 4 x^{3} + 8 x = 0

$x^{4} - 4 x^{3} + 8 x = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель

x

$x$ из

x^{4} - 4 x^{3} + 8 x

$x^{4} - 4 x^{3} + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель

x

$x$ из

x^{4}

$x^{4}$ .

x \cdot x^{3} - 4 x^{3} + 8 x = 0

$x \cdot x^{3} - 4 x^{3} + 8 x = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель

x

$x$ из

- 4 x^{3}

$- 4 x^{3}$ .

x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + 8 x = 0

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + 8 x = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель

x

$x$ из

8 x

$8 x$ .

x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + x \cdot 8 = 0

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + x \cdot 8 = 0$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель

x

$x$ из

x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2})

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2})$ .

x (x^{3} - 4 x^{2}) + x \cdot 8 = 0

$x (x^{3} - 4 x^{2}) + x \cdot 8 = 0$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель

x

$x$ из

x (x^{3} - 4 x^{2}) + x \cdot 8

$x (x^{3} - 4 x^{2}) + x \cdot 8$ .

x (x^{3} - 4 x^{2} + 8) = 0

$x (x^{3} - 4 x^{2} + 8) = 0$

x (x^{3} - 4 x^{2} + 8) = 0

$x (x^{3} - 4 x^{2} + 8) = 0$

Этап 2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разложим

x^{3} - 4 x^{2} + 8

$x^{3} - 4 x^{2} + 8$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ , где

p

$p$ — делитель константы, а

q

$q$ — делитель старшего коэффициента.

p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

Этап 2.2.1.2

Найдем все комбинации

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Этап 2.2.1.3

Подставим

2

$2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно

0

$0$ , поэтому

2

$2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Подставим

2

$2$ в многочлен.

2^{3} - 4 \cdot 2^{2} + 8

$2^{3} - 4 \cdot 2^{2} + 8$

Этап 2.2.1.3.2

Возведем

2

$2$ в степень

3

$3$ .

8 - 4 \cdot 2^{2} + 8

$8 - 4 \cdot 2^{2} + 8$

Этап 2.2.1.3.3

Возведем

2

$2$ в степень

2

$2$ .

8 - 4 \cdot 4 + 8

$8 - 4 \cdot 4 + 8$

Этап 2.2.1.3.4

Умножим

- 4

$- 4$ на

4

$4$ .

8 - 16 + 8

$8 - 16 + 8$

Этап 2.2.1.3.5

Вычтем

16

$16$ из

8

$8$ .

- 8 + 8

$- 8 + 8$

Этап 2.2.1.3.6

Добавим

- 8

$- 8$ и

8

$8$ .

0

$0$

0

$0$

Этап 2.2.1.4

Поскольку

2

$2$ — известный корень, разделим многочлен на

x - 2

$x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 8}{x - 2}

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 8}{x - 2}$

Этап 2.2.1.5

Разделим

x^{3} - 4 x^{2} + 8

$x^{3} - 4 x^{2} + 8$ на

x - 2

$x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением

0

$0$ .

x

$x$

2

$2$

x^{3}

$x^{3}$

4 x^{2}

$4 x^{2}$

0 x

$0 x$

8

$8$

Этап 2.2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом

x^{3}

$x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе

x

$x$ .

					$x^{2}$ $x^{2}$
	$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$8$ $8$

Этап 2.2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$8$ $8$
			+	$x^{3}$ $x^{3}$	-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$

Этап 2.2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в

x^{3} - 2 x^{2}

$x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$

Этап 2.2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$

Этап 2.2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$

Этап 2.2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом

- 2 x^{2}

$- 2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе

x

$x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$

Этап 2.2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	+	$4 x$ $4 x$

Этап 2.2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в

- 2 x^{2} + 4 x

$- 2 x^{2} + 4 x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$

Этап 2.2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$4 x$ $4 x$

Этап 2.2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$4 x$ $4 x$	+	$8$ $8$

Этап 2.2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом

- 4 x

$- 4 x$ на член с максимальной степенью в делителе

x

$x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$	-	$4$ $4$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$4 x$ $4 x$	+	$8$ $8$

Этап 2.2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$	-	$4$ $4$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$4 x$ $4 x$	+	$8$ $8$
							-	$4 x$ $4 x$	+	$8$ $8$

Этап 2.2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в

- 4 x + 8

$- 4 x + 8$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$	-	$4$ $4$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$4 x$ $4 x$	+	$8$ $8$
							+	$4 x$ $4 x$	-	$8$ $8$

Этап 2.2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$	-	$4$ $4$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$4 x$ $4 x$	+	$8$ $8$
							+	$4 x$ $4 x$	-	$8$ $8$
										$0$ $0$

Этап 2.2.1.5.16

Поскольку остаток равен

0

$0$ , окончательным ответом является частное.

x^{2} - 2 x - 4

$x^{2} - 2 x - 4$

x^{2} - 2 x - 4

$x^{2} - 2 x - 4$

Этап 2.2.1.6

Запишем

x^{3} - 4 x^{2} + 8

$x^{3} - 4 x^{2} + 8$ в виде набора множителей.

x ((x - 2) (x^{2} - 2 x - 4)) = 0

$x ((x - 2) (x^{2} - 2 x - 4)) = 0$

x ((x - 2) (x^{2} - 2 x - 4)) = 0

$x ((x - 2) (x^{2} - 2 x - 4)) = 0$

Этап 2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

x (x - 2) (x^{2} - 2 x - 4) = 0

$x (x - 2) (x^{2} - 2 x - 4) = 0$

x (x - 2) (x^{2} - 2 x - 4) = 0

$x (x - 2) (x^{2} - 2 x - 4) = 0$

x (x - 2) (x^{2} - 2 x - 4) = 0

$x (x - 2) (x^{2} - 2 x - 4) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен

0

$0$ , все выражение равно

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

x - 2 = 0

$x - 2 = 0$

x^{2} - 2 x - 4 = 0

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Этап 4

Приравняем

x

$x$ к

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

Этап 5

Приравняем

x - 2

$x - 2$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем

x - 2

$x - 2$ к

0

$0$ .

x - 2 = 0

$x - 2 = 0$

Этап 5.2

Добавим

2

$2$ к обеим частям уравнения.

x = 2

$x = 2$

x = 2

$x = 2$

Этап 6

Приравняем

x^{2} - 2 x - 4

$x^{2} - 2 x - 4$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем

x^{2} - 2 x - 4

$x^{2} - 2 x - 4$ к

0

$0$ .

x^{2} - 2 x - 4 = 0

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Этап 6.2

Решим

x^{2} - 2 x - 4 = 0

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$ относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.2.2

Подставим значения

a = 1

$a = 1$ ,

b = - 2

$b = - 2$ и

c = - 4

$c = - 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно

x

$x$ .

\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Возведем

- 2

$- 2$ в степень

2

$2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.2

Умножим

$- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.2.1

Умножим

$- 4$ на

$1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.2.2

Умножим

$- 4$ на

$- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.3

Добавим

$4$ и

$16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.4

Перепишем

$20$ в виде

$2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.4.1

Вынесем множитель

$4$ из

$20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.4.2

Перепишем

$4$ в виде

$2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.2

Умножим

$2$ на

$1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Этап 6.2.3.3

Упростим

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Этап 6.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части

$+$ значения

$\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1.1

Возведем

$- 2$ в степень

$2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.2

Умножим

$- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1.2.1

Умножим

$- 4$ на

$1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.2.2

Умножим

$- 4$ на

$- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.3

Добавим

$4$ и

$16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.4

Перепишем

$20$ в виде

$2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1.4.1

Вынесем множитель

$4$ из

$20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.4.2

Перепишем

$4$ в виде

$2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.2

Умножим

$2$ на

$1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Этап 6.2.4.3

Упростим

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Этап 6.2.4.4

Заменим

$\pm$ на

$+$ .

$x = 1 + \sqrt{5}$

Этап 6.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части

$-$ значения

$\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1.1

Возведем

$- 2$ в степень

$2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.2

Умножим

$- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1.2.1

Умножим

$- 4$ на

$1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.2.2

Умножим

$- 4$ на

$- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.3

Добавим

$4$ и

$16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.4

Перепишем

$20$ в виде

$2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1.4.1

Вынесем множитель

$4$ из

$20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.4.2

Перепишем

$4$ в виде

$2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.2

Умножим

$2$ на

$1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Этап 6.2.5.3

Упростим

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Этап 6.2.5.4

Заменим

$\pm$ на

$-$ .

$x = 1 - \sqrt{5}$

Этап 6.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых

$x (x - 2) (x^{2} - 2 x - 4) = 0$ верно.

$x = 0, 2, 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 1 - \sqrt{5}$

$1 - \sqrt{5} < x < 0$

$0 < x < 2$

$2 < x < 1 + \sqrt{5}$

$x > 1 + \sqrt{5}$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале

$x < 1 - \sqrt{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале

$x < 1 - \sqrt{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 9.1.2

Заменим

$x$ на

$- 4$ в исходном неравенстве.

${(- 4)}^{4} - 4 {(- 4)}^{3} + 8 (- 4) \geq 0$

Этап 9.1.3

Левая часть

$480$ больше правой части

$0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.2

Проверим значение на интервале

$1 - \sqrt{5} < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале

$1 - \sqrt{5} < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 1$

Этап 9.2.2

Заменим

$x$ на

$- 1$ в исходном неравенстве.

${(- 1)}^{4} - 4 {(- 1)}^{3} + 8 (- 1) \geq 0$

Этап 9.2.3

Левая часть

$- 3$ меньше правой части

$0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.3

Проверим значение на интервале

$0 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале

$0 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 9.3.2

Заменим

$x$ на

$1$ в исходном неравенстве.

${(1)}^{4} - 4 {(1)}^{3} + 8 (1) \geq 0$

Этап 9.3.3

Левая часть

$5$ больше правой части

$0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.4

Проверим значение на интервале

$2 < x < 1 + \sqrt{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Выберем значение на интервале

$2 < x < 1 + \sqrt{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 9.4.2

Заменим

$x$ на

$3$ в исходном неравенстве.

${(3)}^{4} - 4 {(3)}^{3} + 8 (3) \geq 0$

Этап 9.4.3

Левая часть

$- 3$ меньше правой части

$0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.5

Проверим значение на интервале

$x > 1 + \sqrt{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Выберем значение на интервале

$x > 1 + \sqrt{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 9.5.2

Заменим

$x$ на

$6$ в исходном неравенстве.

${(6)}^{4} - 4 {(6)}^{3} + 8 (6) \geq 0$

Этап 9.5.3

Левая часть

$480$ больше правой части

$0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 1 - \sqrt{5}$ Истина

$1 - \sqrt{5} < x < 0$ Ложь

$0 < x < 2$ Истина

$2 < x < 1 + \sqrt{5}$ Ложь

$x > 1 + \sqrt{5}$ Истина

$x < 1 - \sqrt{5}$ Истина

$1 - \sqrt{5} < x < 0$ Ложь

$0 < x < 2$ Истина

$2 < x < 1 + \sqrt{5}$ Ложь

$x > 1 + \sqrt{5}$ Истина

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq 1 - \sqrt{5}$ или

$0 \leq x \leq 2$ или

$x \geq 1 + \sqrt{5}$

Этап 11

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, 1 - \sqrt{5}] \cup [0, 2] \cup [1 + \sqrt{5}, \infty)$

Этап 12