Алгебра Примеры

$x^{4} - 4 x^{3} + 8 x \geq 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{4} - 4 x^{3} + 8 x = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4} - 4 x^{3} + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$x \cdot x^{3} - 4 x^{3} + 8 x = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x^{3}$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + 8 x = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $8 x$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + x \cdot 8 = 0$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2})$ .

$x (x^{3} - 4 x^{2}) + x \cdot 8 = 0$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{3} - 4 x^{2}) + x \cdot 8$ .

$x (x^{3} - 4 x^{2} + 8) = 0$

Этап 2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разложим $x^{3} - 4 x^{2} + 8$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Этап 2.2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Этап 2.2.1.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$2^{3} - 4 \cdot 2^{2} + 8$

Этап 2.2.1.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 - 4 \cdot 2^{2} + 8$

Этап 2.2.1.3.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$8 - 4 \cdot 4 + 8$

Этап 2.2.1.3.4

Умножим $- 4$ на $4$ .

$8 - 16 + 8$

Этап 2.2.1.3.5

Вычтем $16$ из $8$ .

$- 8 + 8$

Этап 2.2.1.3.6

Добавим $- 8$ и $8$ .

$0$

Этап 2.2.1.4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 8}{x - 2}$

Этап 2.2.1.5

Разделим $x^{3} - 4 x^{2} + 8$ на $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$8$

Этап 2.2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$

Этап 2.2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 2.2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 2.2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Этап 2.2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 2.2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 2.2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$

Этап 2.2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x^{2} + 4 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Этап 2.2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$

Этап 2.2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$

Этап 2.2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$

Этап 2.2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$
							-	$4 x$	+	$8$

Этап 2.2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 x + 8$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$
							+	$4 x$	-	$8$

Этап 2.2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$
							+	$4 x$	-	$8$
										$0$

Этап 2.2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 2 x - 4$

Этап 2.2.1.6

Запишем $x^{3} - 4 x^{2} + 8$ в виде набора множителей.

$x ((x - 2) (x^{2} - 2 x - 4)) = 0$

Этап 2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x - 2) (x^{2} - 2 x - 4) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Этап 4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 6

Приравняем $x^{2} - 2 x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x^{2} - 2 x - 4$ к $0$ .

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Этап 6.2

Решим $x^{2} - 2 x - 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = - 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.3

Добавим $4$ и $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.4

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Этап 6.2.3.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Этап 6.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.3

Добавим $4$ и $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.4

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Этап 6.2.4.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Этап 6.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 1 + \sqrt{5}$

Этап 6.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.3

Добавим $4$ и $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.4

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Этап 6.2.5.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Этап 6.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 1 - \sqrt{5}$

Этап 6.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 2) (x^{2} - 2 x - 4) = 0$ верно.

$x = 0, 2, 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 1 - \sqrt{5}$

$1 - \sqrt{5} < x < 0$

$0 < x < 2$

$2 < x < 1 + \sqrt{5}$

$x > 1 + \sqrt{5}$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < 1 - \sqrt{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < 1 - \sqrt{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

${(- 4)}^{4} - 4 {(- 4)}^{3} + 8 (- 4) \geq 0$

Этап 9.1.3

Левая часть $480$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $1 - \sqrt{5} < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $1 - \sqrt{5} < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 1$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $- 1$ в исходном неравенстве.

${(- 1)}^{4} - 4 {(- 1)}^{3} + 8 (- 1) \geq 0$

Этап 9.2.3

Левая часть $- 3$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $0 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

${(1)}^{4} - 4 {(1)}^{3} + 8 (1) \geq 0$

Этап 9.3.3

Левая часть $5$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.4

Проверим значение на интервале $2 < x < 1 + \sqrt{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Выберем значение на интервале $2 < x < 1 + \sqrt{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 9.4.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

${(3)}^{4} - 4 {(3)}^{3} + 8 (3) \geq 0$

Этап 9.4.3

Левая часть $- 3$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.5

Проверим значение на интервале $x > 1 + \sqrt{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Выберем значение на интервале $x > 1 + \sqrt{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 9.5.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

${(6)}^{4} - 4 {(6)}^{3} + 8 (6) \geq 0$

Этап 9.5.3

Левая часть $480$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 1 - \sqrt{5}$ Истина

$1 - \sqrt{5} < x < 0$ Ложь

$0 < x < 2$ Истина

$2 < x < 1 + \sqrt{5}$ Ложь

$x > 1 + \sqrt{5}$ Истина

$x < 1 - \sqrt{5}$ Истина

$1 - \sqrt{5} < x < 0$ Ложь

$0 < x < 2$ Истина

$2 < x < 1 + \sqrt{5}$ Ложь

$x > 1 + \sqrt{5}$ Истина

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq 1 - \sqrt{5}$ или $0 \leq x \leq 2$ или $x \geq 1 + \sqrt{5}$

Этап 11

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, 1 - \sqrt{5}] \cup [0, 2] \cup [1 + \sqrt{5}, \infty)$

Этап 12