Алгебра Примеры

$\frac{2 x}{x - 2} - \frac{4 x - 1}{3 x + 2} = \frac{17 x + 4}{3 x^{2} - 4 x - 4}$

Этап 1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ , а сумма — $b = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 x$ .

$\frac{2 x}{x - 2} - \frac{4 x - 1}{3 x + 2} = \frac{17 x + 4}{3 x^{2} - 4 (x) - 4}$

Этап 1.1.2

Запишем $- 4$ как $2$ плюс $- 6$

$\frac{2 x}{x - 2} - \frac{4 x - 1}{3 x + 2} = \frac{17 x + 4}{3 x^{2} + (2 - 6) x - 4}$

Этап 1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x}{x - 2} - \frac{4 x - 1}{3 x + 2} = \frac{17 x + 4}{3 x^{2} + 2 x - 6 x - 4}$

Этап 1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{2 x}{x - 2} - \frac{4 x - 1}{3 x + 2} = \frac{17 x + 4}{(3 x^{2} + 2 x) - 6 x - 4}$

Этап 1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{2 x}{x - 2} - \frac{4 x - 1}{3 x + 2} = \frac{17 x + 4}{x (3 x + 2) - 2 (3 x + 2)}$

Этап 1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x + 2$ .

$\frac{2 x}{x - 2} - \frac{4 x - 1}{3 x + 2} = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 2, 3 x + 2, (3 x + 2) (x - 2)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $x - 2$ является само значение $x - 2$ .

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $3 x + 2$ является само значение $3 x + 2$ .

$(3 x + 2) = 3 x + 2$

$(3 x + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $x - 2$ является само значение $x - 2$ .

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $x - 2, 3 x + 2, 3 x + 2, x - 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x - 2) (3 x + 2)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{2 x}{x - 2} - \frac{4 x - 1}{3 x + 2} = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)}$ умножим на $(x - 2) (3 x + 2)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{2 x}{x - 2} - \frac{4 x - 1}{3 x + 2} = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)}$ на $(x - 2) (3 x + 2)$ .

$\frac{2 x}{x - 2} ((x - 2) (3 x + 2)) - \frac{4 x - 1}{3 x + 2} ((x - 2) (3 x + 2)) = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{x - 2} ((x - 2) (3 x + 2)) - \frac{4 x - 1}{3 x + 2} ((x - 2) (3 x + 2)) = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 x (3 x + 2) - \frac{4 x - 1}{3 x + 2} ((x - 2) (3 x + 2)) = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (3 x) + 2 x \cdot 2 - \frac{4 x - 1}{3 x + 2} ((x - 2) (3 x + 2)) = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Этап 3.2.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cdot 3 x \cdot x + 2 x \cdot 2 - \frac{4 x - 1}{3 x + 2} ((x - 2) (3 x + 2)) = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Этап 3.2.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$2 \cdot 3 x \cdot x + 4 x - \frac{4 x - 1}{3 x + 2} ((x - 2) (3 x + 2)) = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Этап 3.2.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1.1

Перенесем $x$ .

$2 \cdot 3 (x \cdot x) + 4 x - \frac{4 x - 1}{3 x + 2} ((x - 2) (3 x + 2)) = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Этап 3.2.1.5.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 \cdot 3 x^{2} + 4 x - \frac{4 x - 1}{3 x + 2} ((x - 2) (3 x + 2)) = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Этап 3.2.1.5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x^{2} + 4 x - \frac{4 x - 1}{3 x + 2} ((x - 2) (3 x + 2)) = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Этап 3.2.1.6

Сократим общий множитель $3 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4 x - 1}{3 x + 2}$ в числитель.

$6 x^{2} + 4 x + \frac{- (4 x - 1)}{3 x + 2} ((x - 2) (3 x + 2)) = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Этап 3.2.1.6.2

Вынесем множитель $3 x + 2$ из $(x - 2) (3 x + 2)$ .

$6 x^{2} + 4 x + \frac{- (4 x - 1)}{3 x + 2} ((3 x + 2) (x - 2)) = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Этап 3.2.1.6.3

Сократим общий множитель.

$6 x^{2} + 4 x + \frac{- (4 x - 1)}{3 x + 2} ((3 x + 2) (x - 2)) = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Этап 3.2.1.6.4

Перепишем это выражение.

$6 x^{2} + 4 x - (4 x - 1) (x - 2) = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Этап 3.2.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} + 4 x + (- (4 x) - - 1) (x - 2) = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Этап 3.2.1.8

Умножим $4$ на $- 1$ .

$6 x^{2} + 4 x + (- 4 x - - 1) (x - 2) = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Этап 3.2.1.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$6 x^{2} + 4 x + (- 4 x + 1) (x - 2) = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Этап 3.2.1.10

Развернем $(- 4 x + 1) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} + 4 x - 4 x (x - 2) + 1 (x - 2) = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Этап 3.2.1.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} + 4 x - 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 2 + 1 (x - 2) = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Этап 3.2.1.10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} + 4 x - 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2 = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Этап 3.2.1.11

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.11.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.11.1.1.1

Перенесем $x$ .

$6 x^{2} + 4 x - 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2 = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Этап 3.2.1.11.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$6 x^{2} + 4 x - 4 x^{2} - 4 x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2 = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Этап 3.2.1.11.1.2

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$6 x^{2} + 4 x - 4 x^{2} + 8 x + 1 x + 1 \cdot - 2 = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Этап 3.2.1.11.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$6 x^{2} + 4 x - 4 x^{2} + 8 x + x + 1 \cdot - 2 = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Этап 3.2.1.11.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$6 x^{2} + 4 x - 4 x^{2} + 8 x + x - 2 = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Этап 3.2.1.11.2

Добавим $8 x$ и $x$ .

$6 x^{2} + 4 x - 4 x^{2} + 9 x - 2 = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $4 x^{2}$ из $6 x^{2}$ .

$2 x^{2} + 4 x + 9 x - 2 = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Этап 3.2.2.2

Добавим $4 x$ и $9 x$ .

$2 x^{2} + 13 x - 2 = \frac{17 x + 4}{(3 x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $(x - 2) (3 x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $(x - 2) (3 x + 2)$ из $(3 x + 2) (x - 2)$ .

$2 x^{2} + 13 x - 2 = \frac{17 x + 4}{(x - 2) (3 x + 2) (1)} ((x - 2) (3 x + 2))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} + 13 x - 2 = \frac{17 x + 4}{(x - 2) (3 x + 2) \cdot 1} ((x - 2) (3 x + 2))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$2 x^{2} + 13 x - 2 = 17 x + 4$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $17 x$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} + 13 x - 2 - 17 x = 4$

Этап 4.1.2

Вычтем $17 x$ из $13 x$ .

$2 x^{2} - 4 x - 2 = 4$

Этап 4.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - 4 x - 2 - 4 = 0$

Этап 4.3

Вычтем $4$ из $- 2$ .

$2 x^{2} - 4 x - 6 = 0$

Этап 4.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} - 4 x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) - 4 x - 6 = 0$

Этап 4.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (- 2 x) - 6 = 0$

Этап 4.4.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Этап 4.4.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 2 (- 2 x)$ .

$2 (x^{2} - 2 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Этап 4.4.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2} - 2 x) + 2 \cdot - 3$ .

$2 (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Этап 4.4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Разложим $x^{2} - 2 x - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $- 2$ .

$- 3, 1$

Этап 4.4.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$2 ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Этап 4.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (x - 3) (x + 1) = 0$

Этап 4.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 4.6

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 4.6.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 4.7

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 4.7.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 4.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (x - 3) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 3, - 1$