Алгебра Примеры

$f (x) = \frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}$ в виде уравнения.

$y = \frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{{(y^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{{(y^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7} = x$ .

$\frac{{(y^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7} = x$

Этап 3.2

Умножим обе части уравнения на $7$ .

$7 \frac{{(y^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7} = 7 x$

Этап 3.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$7 \frac{{(y^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7} = 7 x$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

${(y^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}} = 7 x$

Этап 3.4

Возведем обе части уравнения в степень $7$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${({(y^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = {(7 x)}^{7}$

Этап 3.5

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Упростим ${({(y^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(y^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{5} - 8)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(7 x)}^{7}$

Этап 3.5.1.1.1.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(y^{5} - 8)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(7 x)}^{7}$

Этап 3.5.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(y^{5} - 8)}^{1} = {(7 x)}^{7}$

Этап 3.5.1.1.2

Упростим.

$y^{5} - 8 = {(7 x)}^{7}$

Этап 3.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим ${(7 x)}^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Применим правило умножения к $7 x$ .

$y^{5} - 8 = 7^{7} x^{7}$

Этап 3.5.2.1.2

Возведем $7$ в степень $7$ .

$y^{5} - 8 = 823543 x^{7}$

Этап 3.6

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$y^{5} = 823543 x^{7} + 8$

Этап 3.6.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}$ обратной к $f (x) = \frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}) = \sqrt[5]{823543 {(\frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7})}^{7} + 8}$

Этап 5.2.3

Применим правило умножения к $\frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}) = \sqrt[5]{823543 (\frac{{({(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}})}^{7}}{7^{7}}) + 8}$

Этап 5.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}) = \sqrt[5]{823543 (\frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{7^{7}}) + 8}$

Этап 5.2.4.1.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}) = \sqrt[5]{823543 (\frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{7^{7}}) + 8}$

Этап 5.2.4.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}) = \sqrt[5]{823543 (\frac{x^{5} - 8}{7^{7}}) + 8}$

Этап 5.2.4.2

Упростим.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}) = \sqrt[5]{823543 (\frac{x^{5} - 8}{7^{7}}) + 8}$

Этап 5.2.5

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Возведем $7$ в степень $7$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}) = \sqrt[5]{823543 (\frac{x^{5} - 8}{823543}) + 8}$

Этап 5.2.5.2

Сократим общий множитель $823543$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}) = \sqrt[5]{823543 (\frac{x^{5} - 8}{823543}) + 8}$

Этап 5.2.5.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}) = \sqrt[5]{x^{5} - 8 + 8}$

Этап 5.2.5.3

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.3.1

Добавим $- 8$ и $8$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}) = \sqrt[5]{x^{5} + 0}$

Этап 5.2.5.3.2

Добавим $x^{5}$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}) = \sqrt[5]{x^{5}}$

Этап 5.2.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{{({(\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8})}^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Перепишем ${\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}}^{5}$ в виде $823543 x^{7} + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}$ в виде ${(823543 x^{7} + 8)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{{({({(823543 x^{7} + 8)}^{\frac{1}{5}})}^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}$

Этап 5.3.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{{({(823543 x^{7} + 8)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}$

Этап 5.3.3.1.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $5$ .

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{{({(823543 x^{7} + 8)}^{\frac{5}{5}} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}$

Этап 5.3.3.1.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{{({(823543 x^{7} + 8)}^{\frac{5}{5}} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}$

Этап 5.3.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{{((823543 x^{7} + 8) - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}$

Этап 5.3.3.1.5

Упростим.

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{{(823543 x^{7} + 8 - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}$

Этап 5.3.3.2

Объединим противоположные члены в $823543 x^{7} + 8 - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Вычтем $8$ из $8$ .

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{{(823543 x^{7} + 0)}^{\frac{1}{7}}}{7}$

Этап 5.3.3.2.2

Добавим $823543 x^{7}$ и $0$ .

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{{(823543 x^{7})}^{\frac{1}{7}}}{7}$

Этап 5.3.3.3

Применим правило умножения к $823543 x^{7}$ .

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{823543^{\frac{1}{7}} {(x^{7})}^{\frac{1}{7}}}{7}$

Этап 5.3.3.4

Перепишем $823543$ в виде $7^{7}$ .

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{{(7^{7})}^{\frac{1}{7}} {(x^{7})}^{\frac{1}{7}}}{7}$

Этап 5.3.3.5

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{7^{7 (\frac{1}{7})} {(x^{7})}^{\frac{1}{7}}}{7}$

Этап 5.3.3.6

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{7^{7 (\frac{1}{7})} {(x^{7})}^{\frac{1}{7}}}{7}$

Этап 5.3.3.6.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{7 {(x^{7})}^{\frac{1}{7}}}{7}$

Этап 5.3.3.7

Найдем экспоненту.

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{7 {(x^{7})}^{\frac{1}{7}}}{7}$

Этап 5.3.3.8

Перемножим экспоненты в ${(x^{7})}^{\frac{1}{7}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.8.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{7 x^{7 (\frac{1}{7})}}{7}$

Этап 5.3.3.8.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.8.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{7 x^{7 (\frac{1}{7})}}{7}$

Этап 5.3.3.8.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{7 x}{7}$

Этап 5.3.3.9

Упростим.

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{7 x}{7}$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{7 x}{7}$

Этап 5.3.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}$ — обратная к $f (x) = \frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}$