Алгебра Примеры

$7 \sqrt{3 x + 9} - 12 \leq 30$

Этап 1

Перенесем все члены без $7 \sqrt{3 x + 9}$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $12$ к обеим частям неравенства.

$7 \sqrt{3 x + 9} \leq 30 + 12$

Этап 1.2

Добавим $30$ и $12$ .

$7 \sqrt{3 x + 9} \leq 42$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${(7 \sqrt{3 x + 9})}^{2} \leq 42^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 x + 9}$ в виде ${(3 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(7 {(3 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 42^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(7 {(3 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $7 {(3 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$7^{2} {({(3 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 42^{2}$

Этап 3.2.1.2

Возведем $7$ в степень $2$ .

$49 {({(3 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 42^{2}$

Этап 3.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(3 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$49 {(3 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 42^{2}$

Этап 3.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$49 {(3 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 42^{2}$

Этап 3.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$49 {(3 x + 9)}^{1} \leq 42^{2}$

Этап 3.2.1.4

Упростим.

$49 (3 x + 9) \leq 42^{2}$

Этап 3.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$49 (3 x) + 49 \cdot 9 \leq 42^{2}$

Этап 3.2.1.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1

Умножим $3$ на $49$ .

$147 x + 49 \cdot 9 \leq 42^{2}$

Этап 3.2.1.6.2

Умножим $49$ на $9$ .

$147 x + 441 \leq 42^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Возведем $42$ в степень $2$ .

$147 x + 441 \leq 1764$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $441$ из обеих частей неравенства.

$147 x \leq 1764 - 441$

Этап 4.1.2

Вычтем $441$ из $1764$ .

$147 x \leq 1323$

Этап 4.2

Разделим каждый член $147 x \leq 1323$ на $147$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $147 x \leq 1323$ на $147$ .

$\frac{147 x}{147} \leq \frac{1323}{147}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $147$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{147 x}{147} \leq \frac{1323}{147}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{1323}{147}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Разделим $1323$ на $147$ .

$x \leq 9$

Этап 5

Найдем область определения $7 \sqrt{3 (x + 3)} - 42$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{3 (x + 3)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$3 (x + 3) \geq 0$

Этап 5.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $3 (x + 3) \geq 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Разделим каждый член $3 (x + 3) \geq 0$ на $3$ .

$\frac{3 (x + 3)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Этап 5.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (x + 3)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Этап 5.2.1.2.1.2

Разделим $x + 3$ на $1$ .

$x + 3 \geq \frac{0}{3}$

Этап 5.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$x + 3 \geq 0$

Этап 5.2.2

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 3$

Этап 5.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- 3, \infty)$

Этап 6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < 9$

$x > 9$

Этап 7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 7.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$7 \sqrt{3 (- 6) + 9} - 12 \leq 30$

Этап 7.1.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 7.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < 9$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < 9$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 7.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$7 \sqrt{3 (0) + 9} - 12 \leq 30$

Этап 7.2.3

Левая часть $9$ меньше правой части $30$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 7.3

Проверим значение на интервале $x > 9$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Выберем значение на интервале $x > 9$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 12$

Этап 7.3.2

Заменим $x$ на $12$ в исходном неравенстве.

$7 \sqrt{3 (12) + 9} - 12 \leq 30$

Этап 7.3.3

Левая часть $34.95742752$ больше правой части $30$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 7.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < 9$ Истина

$x > 9$ Ложь

$x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < 9$ Истина

$x > 9$ Ложь

Этап 8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 3 \leq x \leq 9$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- 3 \leq x \leq 9$

Интервальное представление:

$[- 3, 9]$

Этап 10