Алгебра Примеры

\sqrt{2 x + 5} - \sqrt{9 + x} > 0

$\sqrt{2 x + 5} - \sqrt{9 + x} > 0$

Этап 1

Добавим

\sqrt{9 + x}

$\sqrt{9 + x}$ к обеим частям неравенства.

\sqrt{2 x + 5} > \sqrt{9 + x}

$\sqrt{2 x + 5} > \sqrt{9 + x}$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

{\sqrt{2 x + 5}}^{2} > {\sqrt{9 + x}}^{2}

${\sqrt{2 x + 5}}^{2} > {\sqrt{9 + x}}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

\sqrt{2 x + 5}

$\sqrt{2 x + 5}$ в виде

{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

{({(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {\sqrt{9 + x}}^{2}

${({(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {\sqrt{9 + x}}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим

{({(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}

${({(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в

{({(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}

${({(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {\sqrt{9 + x}}^{2}

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {\sqrt{9 + x}}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {\sqrt{9 + x}}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 x + 5)}^{1} > {\sqrt{9 + x}}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$2 x + 5 > {\sqrt{9 + x}}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем

${\sqrt{9 + x}}^{2}$ в виде

$9 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt{9 + x}$ в виде

${(9 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x + 5 > {({(9 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 3.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x + 5 > {(9 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 3.3.1.3

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$2$ .

$2 x + 5 > {(9 + x)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.4

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$2 x + 5 > {(9 + x)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$2 x + 5 > {(9 + x)}^{1}$

Этап 3.3.1.5

Упростим.

$2 x + 5 > 9 + x$

Этап 4

Решим относительно

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с

$x$ в левую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем

$x$ из обеих частей неравенства.

$2 x + 5 - x > 9$

Этап 4.1.2

Вычтем

$x$ из

$2 x$ .

$x + 5 > 9$

Этап 4.2

Перенесем все члены без

$x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем

$5$ из обеих частей неравенства.

$x > 9 - 5$

Этап 4.2.2

Вычтем

$5$ из

$9$ .

$x > 4$

Этап 5

Найдем область определения

$\sqrt{2 x + 5} - \sqrt{9 + x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим подкоренное выражение в

$\sqrt{2 x + 5}$ большим или равным

$0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2 x + 5 \geq 0$

Этап 5.2

Решим относительно

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем

$5$ из обеих частей неравенства.

$2 x \geq - 5$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член

$2 x \geq - 5$ на

$2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член

$2 x \geq - 5$ на

$2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 5}{2}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 5}{2}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим

$x$ на

$1$ .

$x \geq \frac{- 5}{2}$

Этап 5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x \geq - \frac{5}{2}$

Этап 5.3

Зададим подкоренное выражение в

$\sqrt{9 + x}$ большим или равным

$0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$9 + x \geq 0$

Этап 5.4

Вычтем

$9$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 9$

Этап 5.5

Область определения ― это все значения

$x$ , при которых выражение определено.

$[- \frac{5}{2}, \infty)$

Этап 6

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x > 4$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x > 4$

Интервальное представление:

$(4, \infty)$

Этап 8