Алгебра Примеры

$5 x^{\frac{5}{2}} - 10 x^{\frac{3}{2}} = 120 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 1

Вычтем $120 x^{\frac{1}{2}}$ из обеих частей уравнения.

$5 x^{\frac{5}{2}} - 10 x^{\frac{3}{2}} - 120 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Этап 2

Вынесем множитель $5 x^{\frac{1}{2}}$ из $5 x^{\frac{5}{2}} - 10 x^{\frac{3}{2}} - 120 x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $5 x^{\frac{1}{2}}$ из $5 x^{\frac{5}{2}}$ .

$5 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{4}{2}}) - 10 x^{\frac{3}{2}} - 120 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $5 x^{\frac{1}{2}}$ из $- 10 x^{\frac{3}{2}}$ .

$5 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{4}{2}}) + 5 x^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{\frac{2}{2}}) - 120 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $5 x^{\frac{1}{2}}$ из $- 120 x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{4}{2}}) + 5 x^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{\frac{2}{2}}) + 5 x^{\frac{1}{2}} (- 24) = 0$

Этап 2.4

Вынесем множитель $5 x^{\frac{1}{2}}$ из $5 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{4}{2}}) + 5 x^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{\frac{2}{2}})$ .

$5 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{4}{2}} - 2 x^{\frac{2}{2}}) + 5 x^{\frac{1}{2}} (- 24) = 0$

Этап 2.5

Вынесем множитель $5 x^{\frac{1}{2}}$ из $5 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{4}{2}} - 2 x^{\frac{2}{2}}) + 5 x^{\frac{1}{2}} (- 24)$ .

$5 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{4}{2}} - 2 x^{\frac{2}{2}} - 24) = 0$

Этап 3

Разложим $x^{\frac{4}{2}} - 2 x^{\frac{2}{2}} - 24$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 24$ , а сумма — $- 2$ .

$- 6, 4$

Этап 3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$5 x^{\frac{1}{2}} ((x^{\frac{2}{2}} - 6) (x^{\frac{2}{2}} + 4)) = 0$

Этап 4

Разделим $2$ на $2$ .

$5 x^{\frac{1}{2}} ((x - 6) (x^{\frac{2}{2}} + 4)) = 0$

Этап 5

Разделим $2$ на $2$ .

$5 x^{\frac{1}{2}} ((x - 6) (x + 4)) = 0$

Этап 6

Избавимся от ненужных скобок.

$5 x^{\frac{1}{2}} (x - 6) (x + 4) = 0$

Этап 7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

$x - 6 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 8

Приравняем $x^{\frac{1}{2}}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $x^{\frac{1}{2}}$ к $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

Этап 8.2

Решим $x^{\frac{1}{2}} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 8.2.2

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 8.2.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 8.2.2.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = 0^{2}$

Этап 8.2.2.1.1.2

Упростим.

$x = 0^{2}$

Этап 8.2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x = 0$

Этап 9

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 9.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 10

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 10.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 11

Окончательным решением являются все значения, при которых $5 x^{\frac{1}{2}} (x - 6) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 0, 6, - 4$

Этап 12

Исключим решения, которые не делают $5 x^{\frac{1}{2}} (x - 6) (x + 4) = 0$ истинным.

$x = 0, 6$