Алгебра Примеры

$\frac{2}{x - 2} + \frac{x}{x + 9} - \frac{x + 20}{x^{2} + 7 x - 18}$

Этап 1

Разложим $x^{2} + 7 x - 18$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 18$ , а сумма — $7$ .

$- 2, 9$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{2}{x - 2} + \frac{x}{x + 9} - \frac{x + 20}{(x - 2) (x + 9)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{2}{x - 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 9}{x + 9}$ .

$\frac{2}{x - 2} \cdot \frac{x + 9}{x + 9} + \frac{x}{x + 9} - \frac{x + 20}{(x - 2) (x + 9)}$

Этап 3

Чтобы записать $\frac{x}{x + 9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2}{x - 2} \cdot \frac{x + 9}{x + 9} + \frac{x}{x + 9} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x + 20}{(x - 2) (x + 9)}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - 2) (x + 9)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{2}{x - 2}$ на $\frac{x + 9}{x + 9}$ .

$\frac{2 (x + 9)}{(x - 2) (x + 9)} + \frac{x}{x + 9} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x + 20}{(x - 2) (x + 9)}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{x}{x + 9}$ на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2 (x + 9)}{(x - 2) (x + 9)} + \frac{x (x - 2)}{(x + 9) (x - 2)} - \frac{x + 20}{(x - 2) (x + 9)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(x - 2) (x + 9)$ .

$\frac{2 (x + 9)}{(x + 9) (x - 2)} + \frac{x (x - 2)}{(x + 9) (x - 2)} - \frac{x + 20}{(x - 2) (x + 9)}$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 (x + 9) + x (x - 2)}{(x + 9) (x - 2)} - \frac{x + 20}{(x - 2) (x + 9)}$

Этап 5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 (x + 9) + x (x - 2) - (x + 20)}{(x + 9) (x - 2)}$

Этап 5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x + 2 \cdot 9 + x (x - 2) - (x + 20)}{(x + 9) (x - 2)}$

Этап 5.3.2

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{2 x + 18 + x (x - 2) - (x + 20)}{(x + 9) (x - 2)}$

Этап 5.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x + 18 + x \cdot x + x \cdot - 2 - (x + 20)}{(x + 9) (x - 2)}$

Этап 5.3.4

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x + 18 + x^{2} + x \cdot - 2 - (x + 20)}{(x + 9) (x - 2)}$

Этап 5.3.5

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$\frac{2 x + 18 + x^{2} - 2 \cdot x - (x + 20)}{(x + 9) (x - 2)}$

Этап 5.3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x + 18 + x^{2} - 2 x - x - 1 \cdot 20}{(x + 9) (x - 2)}$

Этап 5.3.7

Умножим $- 1$ на $20$ .

$\frac{2 x + 18 + x^{2} - 2 x - x - 20}{(x + 9) (x - 2)}$

Этап 5.4

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Объединим противоположные члены в $2 x + 18 + x^{2} - 2 x - x - 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$\frac{18 + x^{2} + 0 - x - 20}{(x + 9) (x - 2)}$

Этап 5.4.1.2

Добавим $18 + x^{2}$ и $0$ .

$\frac{18 + x^{2} - x - 20}{(x + 9) (x - 2)}$

Этап 5.4.2

Вычтем $20$ из $18$ .

$\frac{x^{2} - x - 2}{(x + 9) (x - 2)}$

Этап 6

Разложим $x^{2} - x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $- 1$ .

$- 2, 1$

Этап 6.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 2) (x + 1)}{(x + 9) (x - 2)}$

Этап 7

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 2) (x + 1)}{(x + 9) (x - 2)}$

Этап 7.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x + 1}{x + 9}$