Алгебра Примеры

$5 \sqrt{x - 3} - 2 \leq 13$

Этап 1

Перенесем все члены без $5 \sqrt{x - 3}$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $2$ к обеим частям неравенства.

$5 \sqrt{x - 3} \leq 13 + 2$

Этап 1.2

Добавим $13$ и $2$ .

$5 \sqrt{x - 3} \leq 15$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${(5 \sqrt{x - 3})}^{2} \leq 15^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 3}$ в виде ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(5 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 15^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(5 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $5 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$5^{2} {({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 15^{2}$

Этап 3.2.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$25 {({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 15^{2}$

Этап 3.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 {(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 15^{2}$

Этап 3.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$25 {(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 15^{2}$

Этап 3.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$25 {(x - 3)}^{1} \leq 15^{2}$

Этап 3.2.1.4

Упростим.

$25 (x - 3) \leq 15^{2}$

Этап 3.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$25 x + 25 \cdot - 3 \leq 15^{2}$

Этап 3.2.1.6

Умножим $25$ на $- 3$ .

$25 x - 75 \leq 15^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Возведем $15$ в степень $2$ .

$25 x - 75 \leq 225$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Добавим $75$ к обеим частям неравенства.

$25 x \leq 225 + 75$

Этап 4.1.2

Добавим $225$ и $75$ .

$25 x \leq 300$

Этап 4.2

Разделим каждый член $25 x \leq 300$ на $25$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $25 x \leq 300$ на $25$ .

$\frac{25 x}{25} \leq \frac{300}{25}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{25 x}{25} \leq \frac{300}{25}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{300}{25}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Разделим $300$ на $25$ .

$x \leq 12$

Этап 5

Найдем область определения $5 \sqrt{x - 3} - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x - 3}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x - 3 \geq 0$

Этап 5.2

Добавим $3$ к обеим частям неравенства.

$x \geq 3$

Этап 5.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[3, \infty)$

Этап 6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 3$

$3 < x < 12$

$x > 12$

Этап 7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проверим значение на интервале $x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Выберем значение на интервале $x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 7.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$5 \sqrt{(0) - 3} - 2 \leq 13$

Этап 7.1.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 7.2

Проверим значение на интервале $3 < x < 12$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Выберем значение на интервале $3 < x < 12$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 7.2.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$5 \sqrt{(8) - 3} - 2 \leq 13$

Этап 7.2.3

Левая часть $9.18033988$ меньше правой части $13$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 7.3

Проверим значение на интервале $x > 12$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Выберем значение на интервале $x > 12$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 14$

Этап 7.3.2

Заменим $x$ на $14$ в исходном неравенстве.

$5 \sqrt{(14) - 3} - 2 \leq 13$

Этап 7.3.3

Левая часть $14.58312395$ больше правой части $13$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 7.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 3$ Ложь

$3 < x < 12$ Истина

$x > 12$ Ложь

$x < 3$ Ложь

$3 < x < 12$ Истина

$x > 12$ Ложь

Этап 8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$3 \leq x \leq 12$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$3 \leq x \leq 12$

Интервальное представление:

$[3, 12]$

Этап 10