Алгебра Примеры

$5 x^{2} + 13 x + 3 > 9$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$5 x^{2} + 13 x + 3 = 9$

Этап 2

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$5 x^{2} + 13 x + 3 - 9 = 0$

Этап 3

Вычтем $9$ из $3$ .

$5 x^{2} + 13 x - 6 = 0$

Этап 4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 5 \cdot - 6 = - 30$ , а сумма — $b = 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $13$ из $13 x$ .

$5 x^{2} + 13 (x) - 6 = 0$

Этап 4.1.2

Запишем $13$ как $- 2$ плюс $15$

$5 x^{2} + (- 2 + 15) x - 6 = 0$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} - 2 x + 15 x - 6 = 0$

Этап 4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(5 x^{2} - 2 x) + 15 x - 6 = 0$

Этап 4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (5 x - 2) + 3 (5 x - 2) = 0$

Этап 4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 x - 2$ .

$(5 x - 2) (x + 3) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$5 x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 6

Приравняем $5 x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $5 x - 2$ к $0$ .

$5 x - 2 = 0$

Этап 6.2

Решим $5 x - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$5 x = 2$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $5 x = 2$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $5 x = 2$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{5}$

Этап 7

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 7.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(5 x - 2) (x + 3) = 0$ верно.

$x = \frac{2}{5}, - 3$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < \frac{2}{5}$

$x > \frac{2}{5}$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$5 {(- 6)}^{2} + 13 (- 6) + 3 > 9$

Этап 10.1.3

Левая часть $105$ больше правой части $9$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < \frac{2}{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < \frac{2}{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$5 {(0)}^{2} + 13 (0) + 3 > 9$

Этап 10.2.3

Левая часть $3$ не больше правой части $9$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{2}{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{2}{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$5 {(3)}^{2} + 13 (3) + 3 > 9$

Этап 10.3.3

Левая часть $87$ больше правой части $9$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < \frac{2}{5}$ Ложь

$x > \frac{2}{5}$ Истина

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < \frac{2}{5}$ Ложь

$x > \frac{2}{5}$ Истина

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 3$ или $x > \frac{2}{5}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < - 3 or x > \frac{2}{5}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 3) \cup (\frac{2}{5}, \infty)$

Этап 13