Алгебра Примеры

$x^{5} = 18 x^{3} - 81 x$

Этап 1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$18 x^{3} - 81 x = x^{5}$

Этап 2

Вычтем $x^{5}$ из обеих частей уравнения.

$18 x^{3} - 81 x - x^{5} = 0$

Этап 3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $- x$ из $18 x^{3} - 81 x - x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Перенесем $- 81 x$ .

$18 x^{3} - x^{5} - 81 x = 0$

Этап 3.1.1.2

Изменим порядок $18 x^{3}$ и $- x^{5}$ .

$- x^{5} + 18 x^{3} - 81 x = 0$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $- x$ из $- x^{5}$ .

$- x \cdot x^{4} + 18 x^{3} - 81 x = 0$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $- x$ из $18 x^{3}$ .

$- x \cdot x^{4} - x (- 18 x^{2}) - 81 x = 0$

Этап 3.1.4

Вынесем множитель $- x$ из $- 81 x$ .

$- x \cdot x^{4} - x (- 18 x^{2}) - x \cdot 81 = 0$

Этап 3.1.5

Вынесем множитель $- x$ из $- x (x^{4}) - x (- 18 x^{2})$ .

$- x (x^{4} - 18 x^{2}) - x \cdot 81 = 0$

Этап 3.1.6

Вынесем множитель $- x$ из $- x (x^{4} - 18 x^{2}) - x (81)$ .

$- x (x^{4} - 18 x^{2} + 81) = 0$

Этап 3.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x ({(x^{2})}^{2} - 18 x^{2} + 81) = 0$

Этап 3.3

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- x (u^{2} - 18 u + 81) = 0$

Этап 3.4

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$- x (u^{2} - 18 u + 9^{2}) = 0$

Этап 3.4.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$18 u = 2 \cdot u \cdot 9$

Этап 3.4.3

Перепишем многочлен.

$- x (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 9 + 9^{2}) = 0$

Этап 3.4.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 9$ .

$- x {(u - 9)}^{2} = 0$

Этап 3.5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- x {(x^{2} - 9)}^{2} = 0$

Этап 3.6

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$- x {(x^{2} - 3^{2})}^{2} = 0$

Этап 3.7

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$- x {((x + 3) (x - 3))}^{2} = 0$

Этап 3.8

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Применим правило умножения к $(x + 3) (x - 3)$ .

$- x ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}) = 0$

Этап 3.8.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- x {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 5

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 6

Приравняем ${(x + 3)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем ${(x + 3)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Этап 6.2

Решим ${(x + 3)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 6.2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 7

Приравняем ${(x - 3)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем ${(x - 3)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 7.2

Решим ${(x - 3)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 7.2.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $- x {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ верно.

$x = 0, - 3, 3$