Алгебра Примеры

$\sqrt{x - 1} + \sqrt{3 x - 2} - 3 = 0$

Этап 1

Перенесем все члены без $\sqrt{x - 1}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $\sqrt{3 x - 2}$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{x - 1} - 3 = - \sqrt{3 x - 2}$

Этап 1.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{x - 1} = - \sqrt{3 x - 2} + 3$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x - 1}}^{2} = {(- \sqrt{3 x - 2} + 3)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 1}$ в виде ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sqrt{3 x - 2} + 3)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sqrt{3 x - 2} + 3)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sqrt{3 x - 2} + 3)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x - 1)}^{1} = {(- \sqrt{3 x - 2} + 3)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$x - 1 = {(- \sqrt{3 x - 2} + 3)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(- \sqrt{3 x - 2} + 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(- \sqrt{3 x - 2} + 3)}^{2}$ в виде $(- \sqrt{3 x - 2} + 3) (- \sqrt{3 x - 2} + 3)$ .

$x - 1 = (- \sqrt{3 x - 2} + 3) (- \sqrt{3 x - 2} + 3)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(- \sqrt{3 x - 2} + 3) (- \sqrt{3 x - 2} + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 1 = - \sqrt{3 x - 2} (- \sqrt{3 x - 2} + 3) + 3 (- \sqrt{3 x - 2} + 3)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 1 = - \sqrt{3 x - 2} (- \sqrt{3 x - 2}) - \sqrt{3 x - 2} \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3 x - 2} + 3)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 1 = - \sqrt{3 x - 2} (- \sqrt{3 x - 2}) - \sqrt{3 x - 2} \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3 x - 2}) + 3 \cdot 3$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $- \sqrt{3 x - 2} (- \sqrt{3 x - 2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x - 1 = 1 \sqrt{3 x - 2} \sqrt{3 x - 2} - \sqrt{3 x - 2} \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3 x - 2}) + 3 \cdot 3$

Этап 3.3.1.3.1.1.2

Умножим $\sqrt{3 x - 2}$ на $1$ .

$x - 1 = \sqrt{3 x - 2} \sqrt{3 x - 2} - \sqrt{3 x - 2} \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3 x - 2}) + 3 \cdot 3$

Этап 3.3.1.3.1.1.3

Возведем $\sqrt{3 x - 2}$ в степень $1$ .

$x - 1 = {\sqrt{3 x - 2}}^{1} \sqrt{3 x - 2} - \sqrt{3 x - 2} \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3 x - 2}) + 3 \cdot 3$

Этап 3.3.1.3.1.1.4

Возведем $\sqrt{3 x - 2}$ в степень $1$ .

$x - 1 = {\sqrt{3 x - 2}}^{1} {\sqrt{3 x - 2}}^{1} - \sqrt{3 x - 2} \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3 x - 2}) + 3 \cdot 3$

Этап 3.3.1.3.1.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x - 1 = {\sqrt{3 x - 2}}^{1 + 1} - \sqrt{3 x - 2} \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3 x - 2}) + 3 \cdot 3$

Этап 3.3.1.3.1.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$x - 1 = {\sqrt{3 x - 2}}^{2} - \sqrt{3 x - 2} \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3 x - 2}) + 3 \cdot 3$

Этап 3.3.1.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{3 x - 2}}^{2}$ в виде $3 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 x - 2}$ в виде ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x - 1 = {({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{3 x - 2} \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3 x - 2}) + 3 \cdot 3$

Этап 3.3.1.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x - 1 = {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{3 x - 2} \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3 x - 2}) + 3 \cdot 3$

Этап 3.3.1.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x - 1 = {(3 x - 2)}^{\frac{2}{2}} - \sqrt{3 x - 2} \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3 x - 2}) + 3 \cdot 3$

Этап 3.3.1.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$x - 1 = {(3 x - 2)}^{\frac{2}{2}} - \sqrt{3 x - 2} \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3 x - 2}) + 3 \cdot 3$

Этап 3.3.1.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$x - 1 = {(3 x - 2)}^{1} - \sqrt{3 x - 2} \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3 x - 2}) + 3 \cdot 3$

Этап 3.3.1.3.1.2.5

Упростим.

$x - 1 = 3 x - 2 - \sqrt{3 x - 2} \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3 x - 2}) + 3 \cdot 3$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$x - 1 = 3 x - 2 - 3 \sqrt{3 x - 2} + 3 (- \sqrt{3 x - 2}) + 3 \cdot 3$

Этап 3.3.1.3.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$x - 1 = 3 x - 2 - 3 \sqrt{3 x - 2} - 3 \sqrt{3 x - 2} + 3 \cdot 3$

Этап 3.3.1.3.1.5

Умножим $3$ на $3$ .

$x - 1 = 3 x - 2 - 3 \sqrt{3 x - 2} - 3 \sqrt{3 x - 2} + 9$

Этап 3.3.1.3.2

Добавим $- 2$ и $9$ .

$x - 1 = 3 x + 7 - 3 \sqrt{3 x - 2} - 3 \sqrt{3 x - 2}$

Этап 3.3.1.3.3

Вычтем $3 \sqrt{3 x - 2}$ из $- 3 \sqrt{3 x - 2}$ .

$x - 1 = 3 x + 7 - 6 \sqrt{3 x - 2}$

Этап 4

Решим относительно $- 6 \sqrt{3 x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $3 x + 7 - 6 \sqrt{3 x - 2} = x - 1$ .

$3 x + 7 - 6 \sqrt{3 x - 2} = x - 1$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $- 6 \sqrt{3 x - 2}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $3 x$ из обеих частей уравнения.

$7 - 6 \sqrt{3 x - 2} = x - 1 - 3 x$

Этап 4.2.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$- 6 \sqrt{3 x - 2} = x - 1 - 3 x - 7$

Этап 4.2.3

Вычтем $3 x$ из $x$ .

$- 6 \sqrt{3 x - 2} = - 2 x - 1 - 7$

Этап 4.2.4

Вычтем $7$ из $- 1$ .

$- 6 \sqrt{3 x - 2} = - 2 x - 8$

Этап 5

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- 6 \sqrt{3 x - 2})}^{2} = {(- 2 x - 8)}^{2}$

Этап 6

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 x - 2}$ в виде ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 6 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x - 8)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим ${(- 6 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим правило умножения к $- 6 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 6)}^{2} {({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x - 8)}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$36 {({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x - 8)}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x - 8)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$36 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x - 8)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$36 {(3 x - 2)}^{1} = {(- 2 x - 8)}^{2}$

Этап 6.2.1.4

Упростим.

$36 (3 x - 2) = {(- 2 x - 8)}^{2}$

Этап 6.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$36 (3 x) + 36 \cdot - 2 = {(- 2 x - 8)}^{2}$

Этап 6.2.1.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.6.1

Умножим $3$ на $36$ .

$108 x + 36 \cdot - 2 = {(- 2 x - 8)}^{2}$

Этап 6.2.1.6.2

Умножим $36$ на $- 2$ .

$108 x - 72 = {(- 2 x - 8)}^{2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим ${(- 2 x - 8)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Перепишем ${(- 2 x - 8)}^{2}$ в виде $(- 2 x - 8) (- 2 x - 8)$ .

$108 x - 72 = (- 2 x - 8) (- 2 x - 8)$

Этап 6.3.1.2

Развернем $(- 2 x - 8) (- 2 x - 8)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$108 x - 72 = - 2 x (- 2 x - 8) - 8 (- 2 x - 8)$

Этап 6.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$108 x - 72 = - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 8 - 8 (- 2 x - 8)$

Этап 6.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$108 x - 72 = - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 8 - 8 (- 2 x) - 8 \cdot - 8$

Этап 6.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$108 x - 72 = - 2 \cdot - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 8 - 8 (- 2 x) - 8 \cdot - 8$

Этап 6.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$108 x - 72 = - 2 \cdot - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 8 - 8 (- 2 x) - 8 \cdot - 8$

Этап 6.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$108 x - 72 = - 2 \cdot - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 8 - 8 (- 2 x) - 8 \cdot - 8$

Этап 6.3.1.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$108 x - 72 = 4 x^{2} - 2 x \cdot - 8 - 8 (- 2 x) - 8 \cdot - 8$

Этап 6.3.1.3.1.4

Умножим $- 8$ на $- 2$ .

$108 x - 72 = 4 x^{2} + 16 x - 8 (- 2 x) - 8 \cdot - 8$

Этап 6.3.1.3.1.5

Умножим $- 2$ на $- 8$ .

$108 x - 72 = 4 x^{2} + 16 x + 16 x - 8 \cdot - 8$

Этап 6.3.1.3.1.6

Умножим $- 8$ на $- 8$ .

$108 x - 72 = 4 x^{2} + 16 x + 16 x + 64$

Этап 6.3.1.3.2

Добавим $16 x$ и $16 x$ .

$108 x - 72 = 4 x^{2} + 32 x + 64$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$4 x^{2} + 32 x + 64 = 108 x - 72$

Этап 7.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $108 x$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} + 32 x + 64 - 108 x = - 72$

Этап 7.2.2

Вычтем $108 x$ из $32 x$ .

$4 x^{2} - 76 x + 64 = - 72$

Этап 7.3

Добавим $72$ к обеим частям уравнения.

$4 x^{2} - 76 x + 64 + 72 = 0$

Этап 7.4

Добавим $64$ и $72$ .

$4 x^{2} - 76 x + 136 = 0$

Этап 7.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} - 76 x + 136$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2}$ .

$4 (x^{2}) - 76 x + 136 = 0$

Этап 7.5.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 76 x$ .

$4 (x^{2}) + 4 (- 19 x) + 136 = 0$

Этап 7.5.1.3

Вынесем множитель $4$ из $136$ .

$4 x^{2} + 4 (- 19 x) + 4 \cdot 34 = 0$

Этап 7.5.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} + 4 (- 19 x)$ .

$4 (x^{2} - 19 x) + 4 \cdot 34 = 0$

Этап 7.5.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{2} - 19 x) + 4 \cdot 34$ .

$4 (x^{2} - 19 x + 34) = 0$

Этап 7.5.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1

Разложим $x^{2} - 19 x + 34$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $34$ , а сумма — $- 19$ .

$- 17, - 2$

Этап 7.5.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$4 ((x - 17) (x - 2)) = 0$

Этап 7.5.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 (x - 17) (x - 2) = 0$

Этап 7.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 17 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 7.7

Приравняем $x - 17$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Приравняем $x - 17$ к $0$ .

$x - 17 = 0$

Этап 7.7.2

Добавим $17$ к обеим частям уравнения.

$x = 17$

Этап 7.8

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 7.8.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 7.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 (x - 17) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 17, 2$

Этап 8

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{x - 1} + \sqrt{3 x - 2} - 3 = 0$ истинным.

$x = 2$