Алгебра Примеры

$\sin (2 x) = 2 \cos^{2} (x)$

Этап 1

Вычтем $2 \cos^{2} (x)$ из обеих частей уравнения.

$\sin (2 x) - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 2

Применим формулу двойного угла для синуса.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 3

Вынесем множитель $2 \cos (x)$ из $2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $2 \cos (x)$ из $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $2 \cos (x)$ из $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) (- \cos (x)) = 0$

Этап 3.3

Вынесем множитель $2 \cos (x)$ из $2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) (- \cos (x))$ .

$2 \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) - \cos (x) = 0$

Этап 5

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ .

$\cos (x) = 0$

Этап 5.2

Решим $\cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 5.2.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.4

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 5.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 5.2.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 5.2.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем $\sin (x) - \cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $\sin (x) - \cos (x)$ к $0$ .

$\sin (x) - \cos (x) = 0$

Этап 6.2

Решим $\sin (x) - \cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 6.2.2

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 6.2.3.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 6.2.4

Разделим дроби.

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 6.2.5

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 6.2.6

Разделим $0$ на $1$ .

$\tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

Этап 6.2.7

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$\tan (x) - 1 = 0$

Этап 6.2.8

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\tan (x) = 1$

Этап 6.2.9

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (1)$

Этап 6.2.10

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.10.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 6.2.11

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{4}$

Этап 6.2.12

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.12.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 6.2.12.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.12.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 6.2.12.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 6.2.12.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.12.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 6.2.12.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 6.2.13

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.13.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 6.2.13.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 6.2.13.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 6.2.13.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 6.2.14

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим ответы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{π}{2} + 2 π n$ и $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ в $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8.2

Объединим $\frac{π}{4} + π n$ и $\frac{5 π}{4} + π n$ в $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n$ , для любого целого $n$