Алгебра Примеры

$f (x) = \arcsin (\cos (x))$

Этап 1

Зададим аргумент в $\arcsin (\cos (x))$ большим или равным $- 1$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\cos (x) \geq - 1$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x \geq \arccos (- 1)$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Точное значение $\arccos (- 1)$ : $π$ .

$x \geq π$

Этап 2.3

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - π$

Этап 2.4

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = π$

Этап 2.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$π < x < 3 π$

Этап 2.8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Проверим значение на интервале $π < x < 3 π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Выберем значение на интервале $π < x < 3 π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 2.8.1.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\cos (6) \geq - 1$

Этап 2.8.1.3

Левая часть $0.96017028$ больше правой части $- 1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.8.2

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$π < x < 3 π$ Истина

Этап 2.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$π + 2 π n \leq x \leq 3 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Зададим аргумент в $\arcsin (\cos (x))$ меньшим или равным $1$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\cos (x) \leq 1$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x \leq \arccos (1)$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$x \leq 0$

Этап 4.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - 0$

Этап 4.4

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$x = 2 π$

Этап 4.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4.7

Объединим ответы.

$x = 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$0 < x < 2 π$

Этап 4.9

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Проверим значение на интервале $0 < x < 2 π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 2 π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 4.9.1.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\cos (3) \leq 1$

Этап 4.9.1.3

Левая часть $- 0.98999249$ меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 4.9.2

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$0 < x < 2 π$ Истина

Этап 4.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 + 2 π n \leq x \leq 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Обозначение построения множества:

${x | x = π + 2 π n, x = 3 π + 2 π n, x = 0 + 2 π n, x = 2 π + 2 π n}$ , для любого целого $n$

Этап 6

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

Обозначение построения множества:

${y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

Этап 7

Определим область определения и множество значений.

Область определения: ${x | x = π + 2 π n, x = 3 π + 2 π n, x = 0 + 2 π n, x = 2 π + 2 π n}$ , для любого целого $n$

Диапазон: $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}], {y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

Этап 8