Алгебра Примеры

$5^{x - 2} = 3 \cdot 4^{x + 1}$

Этап 1

Возьмем логарифм обеих частей уравнения.

$\ln (5^{x - 2}) = \ln (3 \cdot 4^{x + 1})$

Этап 2

Развернем $\ln (5^{x - 2})$ , вынося $x - 2$ из логарифма.

$(x - 2) \ln (5) = \ln (3 \cdot 4^{x + 1})$

Этап 3

Перепишем $\ln (3 \cdot 4^{x + 1})$ в виде $\ln (3) + \ln (4^{x + 1})$ .

$(x - 2) \ln (5) = \ln (3) + \ln (4^{x + 1})$

Этап 4

Развернем $\ln (4^{x + 1})$ , вынося $x + 1$ из логарифма.

$(x - 2) \ln (5) = \ln (3) + (x + 1) \ln (4)$

Этап 5

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим $(x - 2) \ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \ln (5) - 2 \ln (5) = \ln (3) + (x + 1) \ln (4)$

Этап 5.1.1.2

Упростим $- 2 \ln (5)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$x \ln (5) - \ln (5^{2}) = \ln (3) + (x + 1) \ln (4)$

Этап 5.1.1.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$x \ln (5) - \ln (25) = \ln (3) + (x + 1) \ln (4)$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $\ln (3) + (x + 1) \ln (4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \ln (5) - \ln (25) = \ln (3) + x \ln (4) + 1 \ln (4)$

Этап 5.2.1.1.2

Умножим $\ln (4)$ на $1$ .

$x \ln (5) - \ln (25) = \ln (3) + x \ln (4) + \ln (4)$

Этап 5.2.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x \ln (5) - \ln (25) = x \ln (4) + \ln (3 \cdot 4)$

Этап 5.2.1.3

Умножим $3$ на $4$ .

$x \ln (5) - \ln (25) = x \ln (4) + \ln (12)$

Этап 5.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$x \ln (5) - \ln (25) - x \ln (4) - \ln (12) = 0$

Этап 5.4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Добавим $\ln (25)$ к обеим частям уравнения.

$x \ln (5) - x \ln (4) - \ln (12) = \ln (25)$

Этап 5.4.2

Добавим $\ln (12)$ к обеим частям уравнения.

$x \ln (5) - x \ln (4) = \ln (25) + \ln (12)$

Этап 5.5

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (5) - x \ln (4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (5)$ .

$x (\ln (5)) - x \ln (4) = \ln (25) + \ln (12)$

Этап 5.5.2

Вынесем множитель $x$ из $- x \ln (4)$ .

$x (\ln (5)) + x (- 1 \ln (4)) = \ln (25) + \ln (12)$

Этап 5.5.3

Вынесем множитель $x$ из $x (\ln (5)) + x (- 1 \ln (4))$ .

$x (\ln (5) - 1 \ln (4)) = \ln (25) + \ln (12)$

Этап 5.6

Перепишем $- 1 \ln (4)$ в виде $- \ln (4)$ .

$x (\ln (5) - \ln (4)) = \ln (25) + \ln (12)$

Этап 5.7

Разделим каждый член $x (\ln (5) - \ln (4)) = \ln (25) + \ln (12)$ на $\ln (5) - \ln (4)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Разделим каждый член $x (\ln (5) - \ln (4)) = \ln (25) + \ln (12)$ на $\ln (5) - \ln (4)$ .

$\frac{x (\ln (5) - \ln (4))}{\ln (5) - \ln (4)} = \frac{\ln (25)}{\ln (5) - \ln (4)} + \frac{\ln (12)}{\ln (5) - \ln (4)}$

Этап 5.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Сократим общий множитель $\ln (5) - \ln (4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (\ln (5) - \ln (4))}{\ln (5) - \ln (4)} = \frac{\ln (25)}{\ln (5) - \ln (4)} + \frac{\ln (12)}{\ln (5) - \ln (4)}$

Этап 5.7.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (25)}{\ln (5) - \ln (4)} + \frac{\ln (12)}{\ln (5) - \ln (4)}$

Этап 5.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{\ln (25) + \ln (12)}{\ln (5) - \ln (4)}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{\ln (25) + \ln (12)}{\ln (5) - \ln (4)}$

Десятичная форма:

$x = 25.56104552 \dots$