Алгебра Примеры

$\frac{3 x + 1}{x - 2} + \frac{4}{x} = \frac{- 8}{x^{2} - 2 x}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{3 x + 1}{x - 2} + \frac{4}{x} = \frac{- 8}{x \cdot x - 2 x}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x$ .

$\frac{3 x + 1}{x - 2} + \frac{4}{x} = \frac{- 8}{x \cdot x + x \cdot - 2}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 2$ .

$\frac{3 x + 1}{x - 2} + \frac{4}{x} = \frac{- 8}{x (x - 2)}$

Этап 1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3 x + 1}{x - 2} + \frac{4}{x} = - \frac{8}{x (x - 2)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 2, x, x (x - 2)$

Этап 2.2

Поскольку $x - 2, x, x (x - 2)$ содержит как числа, так и переменные, для нахождения наименьшего общего кратного требуется четыре этапа. Найдем наименьшее общее кратное для числовой, переменной и составной переменной частей. Затем перемножим их.

Этапы поиска НОК для $x - 2, x, x (x - 2)$ :

1. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 1$ .

2. Найдем НОК для переменной части $x^{1}, x^{1}$ .

3. Найдем НОК для составной переменной части $x - 2, x - 2$ .

4. Перемножим все НОК.

Этап 2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.5

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.6

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

НОК $x^{1}, x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x$

Этап 2.8

Множителем $x - 2$ является само значение $x - 2$ .

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $x - 2, x - 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x - 2$

Этап 2.10

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$x (x - 2)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{3 x + 1}{x - 2} + \frac{4}{x} = - \frac{8}{x (x - 2)}$ умножим на $x (x - 2)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{3 x + 1}{x - 2} + \frac{4}{x} = - \frac{8}{x (x - 2)}$ на $x (x - 2)$ .

$\frac{3 x + 1}{x - 2} (x (x - 2)) + \frac{4}{x} (x (x - 2)) = - \frac{8}{x (x - 2)} (x (x - 2))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Вынесем множитель $x - 2$ из $x (x - 2)$ .

$\frac{3 x + 1}{x - 2} ((x - 2) x) + \frac{4}{x} (x (x - 2)) = - \frac{8}{x (x - 2)} (x (x - 2))$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x + 1}{x - 2} ((x - 2) x) + \frac{4}{x} (x (x - 2)) = - \frac{8}{x (x - 2)} (x (x - 2))$

Этап 3.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$(3 x + 1) x + \frac{4}{x} (x (x - 2)) = - \frac{8}{x (x - 2)} (x (x - 2))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x \cdot x + 1 x + \frac{4}{x} (x (x - 2)) = - \frac{8}{x (x - 2)} (x (x - 2))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Перенесем $x$ .

$3 (x \cdot x) + 1 x + \frac{4}{x} (x (x - 2)) = - \frac{8}{x (x - 2)} (x (x - 2))$

Этап 3.2.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x^{2} + 1 x + \frac{4}{x} (x (x - 2)) = - \frac{8}{x (x - 2)} (x (x - 2))$

Этап 3.2.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$3 x^{2} + x + \frac{4}{x} (x (x - 2)) = - \frac{8}{x (x - 2)} (x (x - 2))$

Этап 3.2.1.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Сократим общий множитель.

$3 x^{2} + x + \frac{4}{x} (x (x - 2)) = - \frac{8}{x (x - 2)} (x (x - 2))$

Этап 3.2.1.5.2

Перепишем это выражение.

$3 x^{2} + x + 4 (x - 2) = - \frac{8}{x (x - 2)} (x (x - 2))$

Этап 3.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + x + 4 x + 4 \cdot - 2 = - \frac{8}{x (x - 2)} (x (x - 2))$

Этап 3.2.1.7

Умножим $4$ на $- 2$ .

$3 x^{2} + x + 4 x - 8 = - \frac{8}{x (x - 2)} (x (x - 2))$

Этап 3.2.2

Добавим $x$ и $4 x$ .

$3 x^{2} + 5 x - 8 = - \frac{8}{x (x - 2)} (x (x - 2))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $x (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{8}{x (x - 2)}$ в числитель.

$3 x^{2} + 5 x - 8 = \frac{- 8}{x (x - 2)} (x (x - 2))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$3 x^{2} + 5 x - 8 = \frac{- 8}{x (x - 2)} (x (x - 2))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$3 x^{2} + 5 x - 8 = - 8$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$3 x^{2} + 5 x - 8 + 8 = 0$

Этап 4.2

Объединим противоположные члены в $3 x^{2} + 5 x - 8 + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $- 8$ и $8$ .

$3 x^{2} + 5 x + 0 = 0$

Этап 4.2.2

Добавим $3 x^{2} + 5 x$ и $0$ .

$3 x^{2} + 5 x = 0$

Этап 4.3

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2} + 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2}$ .

$x (3 x) + 5 x = 0$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $x$ из $5 x$ .

$x (3 x) + x \cdot 5 = 0$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x (3 x) + x \cdot 5$ .

$x (3 x + 5) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$3 x + 5 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 4.6

Приравняем $3 x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $3 x + 5$ к $0$ .

$3 x + 5 = 0$

Этап 4.6.2

Решим $3 x + 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 5$

Этап 4.6.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 5$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 5$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Этап 4.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Этап 4.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{3}$

Этап 4.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5}{3}$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (3 x + 5) = 0$ верно.

$x = 0, - \frac{5}{3}$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{3 x + 1}{x - 2} + \frac{4}{x} = \frac{- 8}{x^{2} - 2 x}$ истинным.

$x = - \frac{5}{3}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{5}{3}$

Десятичная форма:

$x = - 1.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$x = - 1 \frac{2}{3}$